Работа падающего тела

Работа, выполняемая тяжестью

Сложение энергий

Поле тяготения больших тел

В гл. 4 мы разобрали вопрос о сохранении энергии. При этом законами Ньютона мы не пользовались. Интересно теперь посмотреть, как возникает сохранение энергии из-за того, что действуют эти законы. Для ясности мы начнем с самых простых примеров и постепенно будем их усложнять.

Простейший пример сохранения энергии — это тело, падающее вниз, т.е. тело, движущееся только в вертикальном направлении. Если оно меняет свою высоту под влиянием только тяжести, то из-за движения оно обладает кинетической энергией Т (или к.э.). Кроме того, у него есть потенциальная энергия тgh (сокращенно U, или п.э.). Их сумма постоянна:

½ mv²+mgh=const.

ИЛИ

Т+U = const.

Мы хотим показать, что это утверждение правильно. Что значит доказать его правильность? Второй закон Ньютона говорит, как движется тело, как со временем изменяется его скорость (а именно, что в падении она растет пропорционально времени, а высота падения меняется как квадрат времени). Если поэтому отмерять высоту от нулевой точки (где тело покоилось), то не будет ничего странного в том, что она окажется равной квадрату скорости, умноженному на какие-то постоянные. Однако все же рассмотрим это повнимательней.

Попробуем вычислить прямо из второго закона Ньютона, как обязана меняться кинетическая энергия; мы продифференцируем кинетическую энергию по времени и потом применим закон Ньютона. Дифференцируя по времени получаем

потому что т считается постоянной. Но по второму закону Ньютона

так что

В общем случае получается , но для нашего одномерного случая лучше оставить просто произведение силы на скорость.

Сила в нашем простом примере постоянна, равна −тg и направлена вниз (знак минус именно это и показывает), а скорость есть степень изменения положения по вертикали, (высоты h) со временем. Поэтому степень изменения кинетической энергии равна

Взгляните что за чудо! Перед нами снова чья-то скорость изменения — скорость изменения со временем величины тgh. Поэтому выходит, что с течением времени изменения в кинетической энергии и в вeличине mgh остаются равными и противоположными, так что их сумма остается неизменной.

Что и требовалось доказать.

Мы только что показали, пользуясь Вторым законом Ньютона, что для постоянных сил энергия сохраняется, еслш только прибавлять потенциальную энергию тgh к кинетической ¹/₂ тv². Исследуем этот вопрос дальше; посмотрим, можно ли его обобщить, можно ли еще продвинуться в его понимании. Действует ли этот закон только для свободно падающих тел или является более общим? Из того, что мы знаем о сохранении энергии, можно ожидать, что он будет верен для тела, движущегося из одной точки в другую по кривой без трения и под действием одной лишь тяжести (фиг. 13.1). Когда тело, начав двигаться с высоты H, достигает высоты h, то опять должна быть верной та же формула, хотя бы скорость уже не была направлена по вертикали. Нам надо понять, почему она все еще правильна. Проведем тот же анализ; отыщем скорость изменения кинетической энергии во времени.

Опять будет получаться — скорость изменения величины импульса, т.е. сила в направлении движения — касательная сила F_t. Итак,

Скорость — это скорость изменения расстояния вдоль кривой ds/dt, а касательная сила F_t теперь оказывается меньше mg в отношении, равном отношению расстояния ds вдоль пути к вертикальному расстоянию dh. Иными словами,

так что

(ds выпадает). И опять, как прежде, мы получили величину, равную скорости изменения тgh.

Чтобы точно уяснить себе, как вообще соблюдается сохранение энергии в механике, рассмотрим сейчас некоторые полезные понятия.

Во-первых, рассмотрим скорость изменения кинетической энергии в общем трехмерном случае. Кинетическая энергия, когда движение имеет три измерения, равна

Дифференцируя ее по времени, получаем три устрашающих члена:

Но ведь т(dv_х/dt) — это сила F_х, действующая на тело в направлении х. Значит, в правой части формулы стоит

.

Призвав на помощь векторный анализ, вспоминаем, что это

Итак,

А можно это вывести и быстрей: если и — два вектора, зависящих от времени, то производная, от равна

Подставим сюда

:

Так как понятие кинетической энергии и вообще энергии очень важно, то различным величинам в этих уравнениях присвоены разные имена: ½mv² называется, как известно, кинетической энергией, называется мощностью: сила, действующая на тело, умноженная («скалярно») на скорость тела, — это мощность, сообщаемая телу этой силой. Получается великолепная теорема: скорость изменения кинетической энергии тела равна мощности, затраченной силами, действующими на тело.

Но для изучения сохранения энергии анализ следует продолжить. Давайте оценим изменение кинетической энергии за очень короткое время dt. Умножив обе части уравнения

на dt, найдем, что изменение кинетической энергии равно силе, скалярно умноженной на дифференциал пройденного расстояния

А интегрируя, получаем

Что это значит? Это значит, что, как бы и по какой бы кривой траектории ни двигалось тело под действием силы, все равно изменение в к. э. при переходе от одной точки кривой к другой равно интегралу от компоненты силы, вдоль кривой, умноженной на дифференциал смещения б?8 (интегрирование от первой точки до второй). И у этого интеграла есть имя: его называют работой, совершенной силой над те-лом. Немедленно мы обнаруживаем, что мощность — это работа за секунду. И еще мы замечаем, что работу производит только составляющая силы вдоль направления движения. В нашем первом простом примере участвовали только вертикальные силы с одной-единственной составляющей Р_г, равной — т&. В этих обстоятельствах совершенно неважно, как тело движется, прямо вниз или по параболе, все равно от Р'б?8 (которое можно написать как Р_хс1х + Р_уйу + Рхйг) остается только Р_гйг = — т^йх, потому что прочие составляющие силы — нули. Значит, в этом случае

2 2₂

р . а* = — т§ Лг = — т§(г₂ — г,), (13.10)

так что в потенциальную энергию входит только высота, с которой тело падает.

Несколько слов о единицах. Так как сила измеряется а ньютонах, а для получения работы ее умножают на расстоя^

236

ние, то работу измеряют в единицах ньютон • метр, но большинство людей этого названия не любит, предпочитая название джоуль (дж). Это только другое слово, а единица та же. Итак, работу измеряют в джоулях. Мощность же — в джоулях в секунду; эту единицу называют ватт(вт). Если умножить ватты на время, то получим произведенную работу. Работу, которую местная энергосистема производит в наших квартирах (в техническом смысле), оценивается в ваттах, умноженных на время. Например, киловатт-час — это 1000 вт X 3600 сек, т. е. 3,6-10⁶ дж.

Приведем еще несколько примеров работы и сохранения энергии. Рассмотрим тело, которое вначале имеет кинетическую энергию и быстро двигается, скользя по полу с трением. Оно останавливается. В начале кинетическая энергия не равна нулю, а в конце она равна нулю\ существует работа,, произведенная силами, потому что раз есть трение, то есть и составляющая силы в направлении, противоположном направлению движения, и энергия постепенно теряется. Теперь рассмотрим массу на конце маятника, который качается в вертикальной плоскости в поле тяжести без трения. Здесь наблюдается нечто другое, потому что, когда масса опускается, сила направлена тоже вниз, а когда подымается» сила направлена в обратную сторону, так что у Р-^8 на спуске и на подъеме разные знаки. В соответствующих точках спуска и подъема значения Р-^8 равны по величине, но противоположны по знаку, так что в итоге интеграл есть чистый куль. Поэтому кинетическая энергия в конце спуска в точности такая же, какой она была в начале подъема; это и есть принцип сохранения энергии. (Заметьте, что в присутствии сил трения сохранение энергии на первый взгляд не выполняется. Значит, нужно искать другую форму энергии. И действительно, оказывается, что когда два тела трутся друг о друга, то возникает тепло, мы же сейчас делаем вид_> что об этом не знаем.)

§ 2. Работа, выполняемая тяжестью

Теперь займемся задачей потруднее, когда силы уже не постоянны и не направлены вниз, как раньше. Мы рассмотрим, например, движение планеты вокруг Солнца или спутника вокруг Земли.

Сперва мы рассмотрим движение тела, которое падает из точки 1 прямо на Солнце или на Землю (фиг. 13.2). Будет ли

Фиг. 13.2. Падение малой массы т под действием тяжести на большую массу М.

М

237 в этих обстоятельствах сохраняться энергия? Единственное отличие от того, что было раньше, — что теперь сила не постоянна, она меняется по мере падения. Мы знаем, что сила равна произведению ОМ/г² на массу т падающего тела. Конечно, и теперь кинетическая энергия при падении возрастает, как возрастала и тогда, когда нас еще не волновало изменение силы с высотой. Вопрос только в том, можно ли отыскать иную, отличную от т$1г, формулу для потенциальной энергии, найти другую функцию расстояния от Земли, чтобы для нее сохранение энергии не нарушалось.

Этот одномерный случай рассматривать легко, потому что мы знаем, что изменение кинетической энергии равно интегралу от начала движения до конца от силы—ОМт/г² по перемещению с1г

2

Т₂-Т1 = -\ОМт^, (13.11)

1

В формуле нет никакого косинуса, потому что сила и перемещение направлены одинаково. Интегрировать с!г/г² легко; получается (—1/г), так что

Т*-Т^+ОМт^-?••--). (13.12)

Перед нами другая формула для потенциальной энергии. Уравнение (13.12) говорит нам, что величина ¹/₂ тV²— —СМт/г, вычисленная в точке /, в точке 2 или в любой другой, остается постоянной.

У нас теперь есть формула для потенциальной энергии в поле тяготения для вертикального движения. Здесь возникает интересный вопрос: можно ли добиться вечного движения в поле тяготения? Поле-то меняется, в разных местах у него разная напряженность и разное направление. Нельзя ли взять бесконечную ленту без трения и запустить ее, скажем, так: пусть она сперва поднимает тело из одной точки в другую, потом проводит его по дуге окружности в третью точку, опускает на некоторый уровень, сдвигает по наклонному направлению и выводит на довый путь и т. п., так что по возвращении в начальную точку оказывается, что поле тяготения совершило некоторую работу и кинетическая энергия тела возросла? Нельзя ли так начертить эту траекторию, чтобы, обойдя по ней, тело приобрело чуть-чуть больше скорости, чем имело вначале? Так получится вечное движение. Но ведь оно невозможно, значит, мы обязаны доказать, что такая траектория немыслима. Мы должны доказать следующее предположение: раз трения нет, тело должно вернуться ни с меньшей, ни с большей скоростью, а как раз с такой, чтобы еще и еще делать круги по этому замкнутому пути. 238

Фиг. 13.3. Замкнутый путь обхода в поле тяготения.

Или, другими словами, вся работа, произведенная в движении по замкнутому пути, должна быть нулем для сил тяжести, потому что если бы она не была нулем, то можно было бы получить энергию за счет такого движения тела. (Если бы работа оказалась меньше нуля, так что скорость в конце обхода уменьшилась бы, то для получения энергии стоило бы только повернуть обратно; силы ведь зависят не от направления движения, а только от положения. Если в одном направлении работа получится с плюсом, то в обратном она будет с минусом; любая ненулевая работа означает создание вечного двигателя.)

Так что же, действительно ли работа равна нулю? Попробуем показать, что да. Сперва мы лишь на пальцах поясним, почему это так, а уж потом оформим математически. Положим, мы выдумали траекторию, показанную на фиг. 13.3; масса /падает от / к 2, поворачивает до 3, обратно поднимается к 4, затем через 5, 6, 7, 8 движется обратно к 1. Все линии идут либо по радиусу, либо по кругу с центром М. Какая работа совершается на таком пути? Между 1 е 2 она равна произведению ОМт на разность 1/г в этих точках:

От 2 до 3 сила в точности направлена поперек движения, и Ц7₂₃ = (X От 3 к 4

Так же получаются №₄5 = 0, №₅е = — ОМт ( 1/г_б — 1/г₅) , Ц7₆₇ = 0, Ц7₇₈ = _(Шт(1/г₈-1/г₇) и №₈₁ = 0. Всего

г₂

г,

Но ведь г₂ = г₃, г₄ = г₅, г_б = г₇, г₈ =г_{. Поэтому № = 0.

Но возникает подозрение, не слишком ли эта кривая проста. А что даст настоящая траектория? Что ж, попробуем настоящую. Сразу же ясно, что ее можно достаточно точно представить как ряд зазубрин (фиг. 13.4) и поэтому... и т. д., что и требовалось доказать, Но надо еще посмотреть,

239

путь

Фиг. 13.4. «Плавный* обхода.

Показан увеличенный отрезок этого пути и близкая к нему траектория, состоящая из радиальных и круговых участков* а также один из цов этой траектории.

действительно ли работа обхода вокруг маленького треугольника тоже равна нулю. Увеличим один из треугольников (см. фиг. 13.4). Равны ли работы по пути от а к Ь и от Ь к с работе, совершаемой, когда идешь напрямик от а к с? Пусть сила действует в каком-та направлении. Расположим треугольник так, чтобы у его катета Ьс было как раз такое направление. Предположим также, что сам треугольник так мал, что сила всюду на нем постоянна. Какова работа на отрезке ас? Она равна

ас'

с*

(поскольку сила постоянна). Теперь определим работу на двух катетах. На вертикальном катете аЬ сила перпендикулярна к г/5, так что работа равна нулю. На горизонтальном катете Ьс

о

Мы убеждаемся таким образом, что работа обхода по бокам маленького треугольника такая же,'как и по склону, потому что 5 соз 0 равно к. Мы уже показали прежде, что работа/ при движении по зазубринам (как на фиг. 13.3) равна нулю, а теперь видим, что производимая работа одинакова, независимо от того, движемся ли мы по зазубринам или срезаем путь между ними (если только зазубрины .малы, но ведь ничто не мешает сделать их такими); поэтому работа обхода по любому замкнутому пути в поле тяготения равна нулю. Это очень примечательный результат. Благодаря ему нам становятся известны такие подробности о движении планет, о которых мы раньше и не догадывались. Выясняется, что когда планета вертится вокруг Солнца одна, без спутников и в отсутствие каких-либо других сил, то квадрат ее скорости минус некоторая константа, деленная на расстояние до Солнца, вдоль орбиты не меняется. Например, чем ближе планета к Солнцу, тем быстрее она движется. Но насколько быстрее? А вот насколько: если вместо движения вокруг 240

Солнца вы толкнете ее к Солнцу с той же скоростью и подождете, пока она не упадет на нужное расстояние, то приобретенная скорость будет как раз такой, какой планета обладает на этой орбите, потому что получился просто другой пример сложного пути обхода. Если планета вернется по такому пути обратно, ее кинетическая энергия окажется прежней.Лоэтому независимо бт того, движется ли она по настоящей невозмущенной орбите или же по сложному пути (но без трения), кинетическая энергия в момент возвращения на орбиту оказывается как раз такой, какой нужно.

Значит, когда мы проводим численный анализ движения планеты по орбите (как мы делали раньше), мы можем проверить, не сделали ли заметных ошибок при расчете этой постоянной величины, энергии, на каждом шаге; она не должна меняться/Для орбиты, приведенной в табл. 9.2 (стр, 174), энергия меняется* примерно на 1,5% с начала движения до конца. Почему? То ли потому, что в численном методе мы пользовались конечными приращениями, то ли из-за мелких погрешностей в арифметике.

Рассмотрим энергию в другой задаче: задаче о массе, подвешенной на пружине. Когда отклоняют массу от положения равновесия, сила, восстанавливающая ее положение, пропорциональна смещению. Можно ли в этих условиях вывести закон сохранения энергии? Да, потому что работа, совершаемая этой силой, равна

= Р . а* =

Ьх)4х = -

(13. 13)

Значит, у массы, подвешенной на пружине, сумма кинетической энергии ее колебаний р */2 &*²' постоянна. Посмотрим, как это происходит. Оттянем массу вниз; она неподвижна и скорость ее равна нулю, но х не равно нулю, теперь величина х максимальна, так что имеется и некоторый запас энергии (потенциальной). Отпустим теперь массу: начнется какой-то процесс (в детали мы не вникаем),но в любое мгновение кинетическая плюс потенциальная энергии будут постоянны. Например, когда масса проходит через точку первоначального равновесия, то х = О, но тогда значение V² наибольшее, и чем больше величина я², тем меньше V² и т. д. Значит, во время колебаний соблюдается равновесие между величинами х² и V². Мы получили, таким образом, новое правило: потенциальная энергия пружины равна ¹/2&х²* если сила равна —их.

* Энергия в единицах табл. 9.2 есть ¹/₂ (р²_х + V²_у) — 1/г.

241 то работа равна

Р₃ • (1* = Р₁₃ • Л

Р23 • Л* =

13

Стало быть, вся работа равна сумме работ, произведенных против силы 1 и против силы 2, как если бы они действовали независимо. Продолжая рассуждать таким образом, мы увидим, что полная работа, которую необходимо выполнить,. чтобы собрать данную конфигурацию тел, в точности равна значению (13.14) для потенциальной энергии. Именно из-за того, что тяготение подчиняется принципу наложения сил, можно потенциальную энергию представить в виде суммы по всем парам частиц.

$ 4. Поле тяготения больших тел

Теперь рассчитаем поля, встречающиеся во многих физи-* ческих задачах, когда речь идет о распределении масс. Мы пока не рассматривали распределения масс, а занимались только отдельными частицами. Но интересно рассчитать и поля, образуемые более чем одной частицей. Для начала найдем 'силу притяжения со стороны плоского пласта вещества бесконечной протяженности. Сила притяжения единичной массы в данной точке Р (фиг. 13.5), конечно, направлена к плоскости. Расстояние от точки до плоскости есть а, а масса единицы площади этой плоскости есть рь. Пусть [Л будет постоянной: слой однороден. Какой же величины поле (1С создается массой йш, удаленной от О не ближе, чем на р, и не дальше, чем на р + ^Р (О — это точка плоскости, ближайшая к Р)? Ответ: с1С=0(с1тг/г³). Но оно, это поле, направлено вдоль г, а мы понимаем, что из трех составляющих С после сложения всех (1С должна остаться лишь х-составляющая. Она равна

Все массы Лт, которые находятся на одном и том же расстоянии г от Р, дадут одно и то же значение 4С_Х, так что за йт можно сразу принять массу всего кольца между р и

Фиг. 13.5. Сила притяжения материальной точки материальной плоскостью.

244

т. е. Ат — р,2ярб?р (2лрйр — это площадь кольца радиусом р и шириной с1р при с1р <С р). Итак,

Но рйр = гиг из-за того, что г² = р² + а². Поэтому

(13.17)

Стало быть, сила не зависит от расстояния а\ Почему? Не ошиблись ли мы? Казалось бы, чем дальше от плоскости, тем сила слабее. Но нет! Если точка находится вплотную к плоскости, то большая часть вещества притягивает ее под неудачными углами, а если вдалеке, то у большей части вещества притяжение направлено прямее к плоскости. На любом расстоянии самая «влиятельная» часть плоскости лежит в некотором конусе. С удалением сила ослабляется обратно пропорционально квадрату расстояния, но в том же конусе под тем же углом оказывается больше вещества, а рост количества вещества тоже пропорционален квадрату расстояния! Этот анализ может быть сделан более строгим, если заметить, что дифференциал вклада любого данного конуса не зависит от расстояния в результате противоположных изменений напряженности поля данной массы и количества са- -, мой этой массы (с ростом расстояния). Впрочем, на самом деле сила не постоянна, ибо на другой стороне плоскости она меняет знак.

Мы решили, кстати, и задачу по электричеству: мы доказали, что у заряженной пластины, каждая единица площади которой несет заряд а, электрическое поле равно о/2ео и направлено от пластины, если она заряжена положительно» и к ней, если она заряжена отрицательно. Чтобы доказать это, надо просто вспомнить, что в законе тяготения О играет ту же роль, что ¹/4 яео в электричестве.

А теперь пусть имеются две пластины, одна с положительным зарядом +0» а другая с отрицательным — а (на единицу площади), и пусть промежуток между ними равен О. .Каково поле этих пластин? Снаружи пластин поле равно нулю. Отчего? Оттого, что одна из них отталкивает, а другая притягивает и у обеих сила не зависит от расстояния; значит, силы уничтожаются! А вот поле между пластинами вдвое больше, чем поле одной пластины, направлено оно от положительной пластины к отрицательной и равно Е = а/ео.

Перейдем теперь к еще более интересному и важному вопросу; впрочем, мы давно уже ответили на него, предположив, что сила притяжения Земли в точке на ее поверхности

245 Фиг. 13.6. Тонкий сферический слой масс (или зарядов).

или над нею такая же, как если бы вся масса Земли сосредоточилась. в ее центре. Справедливость этого предположения не очевидна: ведь когда мы находимся у самой земли, какая-то часть ее массы очень к нам близка, а другая да-, лека и т. д. Когда мы складываем действие всех таких масс, то кажется чудом, что в конце концов сила сводится к тому, что вся Земля сжалась в одну точку, стянулась к своему центру!

Мы теперь покажем, что это чудо обыкновенное; чтобы продемонстрировать это, разобьем Землю на тонкие сферические слои. Пусть вся масса сферы равна т. Давайте рассчитаем потенциальную энергию частицы массы т' на расстоянии К от центра сферы (фиг. 13.6). Мы увидим, что потенциальная энергия как раз такая, как если бы масса т сферы вся собралась в ее центре. (Легче иметь дело с потенциальной энергией, чем с напряженностью поля: не нужно думать об углах, а просто складывать потенциальные энер-' гии всех частей сферы.) Нарежем сферу на узкие пояски, и пусть л;— расстояние плоскости пояска от центра сферы; тогда вся масса пояска толщиной их находится на одном и том же расстоянии г от точки Р₉ а потенциальная энергия притяжения этого пояска равна — 6т'с1т/г. Сколько же массы содержится в пояске йк> Вот сколько:

где ц = т/4па² — поверхностная плотность массы. (Вообще площадь поверхности шарового пояса пропорциональна его высоте.) Поэтому потенциальная энергия притяжения массы Лт есть

' ат 6т'2пац ах ^

~~

Но мы видим, что

Значит,

246

или

ах

г

Поэтому

и получается

,™г___.

Я+а

От'

Я-а

,. (13.18)

Стало быть, для тонкого слоя потенциальная энергия массы т', внешней по отношению к слою, такова, как если бы масса слоя собралась в его центре. Землю же можно представить в виде ряда таких слоев, и притяжение каждого из слоев зависит только от его массы; сложив их, получим всю массу планеты; значит, и вся Земля действует так, словно* все ее вещество находится в ее центре!

Но посмотрим, что произойдет, если точка Р окажется внутри слоя. Проделывая те йе расчеты вплоть до интегрирования, мы получим разность двух значений г, но уже в другой форме: (а + /?) — (а — "1?) = 2К (двойное расстояние от Р до центра). Другими словами, теперь ИР становится равной Ц7 = — Отт'/а, что не зависит от /?, т. е. точка Р всюду внутри сферы обладает одной и той же энергией тяготения. А значит, на нее не действует никакая сила, и не нужно никакой работы, чтобы двигать ее внутри. Когда потенциальная энергия тела всюду, в любой точке внутри сферы, одинакова, то на тело не действует никакая сила. Внутри сферы тело не испытывает действия бил, сила действует только сна* ружи.

Глава

14

РАБОТА И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ (II)

/. Работа

ные силы

§ 5. Потенциалы и поля

§ 1. Работа

§ 2. Движение при наложенных связях

§ 3. Консервативные силы

В предыдущей главе мы ввели много но- _{§ 4} неконсерватив-,вых понятий 1Г идей, играющих важную роль в физике. Идеи эти столь важны, что, пожалуй, стоит посвятить целую главу внимательному ознакомлению с ними. Мы не будем здесь повторять «доказательства» и красивые приемы, позволяющие просто получать важные результаты, а вместо этого сосредоточим наше внимание на обсуждении самих идей.

Штудируя любой вопрос технического характера, для понимания которого нужна математика, мы всегда сталкиваемся с необходимостью понять и отложить в памяти массу фактов и идей, объединенных определенными связями. Существование этих связей можно «доказать» или «показать». Ничего не стоит спутать само доказательство с тем соотношением, которое оно устанавливает. Конечно, куда важнее выучить и запомнить не доказательство, а само соотношение. Тогда уже в любом случае мы сможем сказать: «Легко показать, что...» то-то и то-то верно, а то и „действительно показать это. Приводимые доказательства почти всегда состряпаны, сфабрикованы с таким расчетом, чтобы, во-первых, их легко было воспроизвести мелом на доске или пером на бумаге и, во-вторых, чтобы они выглядели поглаже. В итоге доказательство выглядит обманчиво просто, хотя, быть может, на самом деле автор много часов искал разные пути расчета, пока не нашел самый изящный — тот, который приводит к результату за кратчайшее время! Глядя на вывод формулы, надо вспоминать не этот вывод, а скорее сам факт, что то-то и то-то можно до-

.248

казать. Конечно, если доказательство требует особых математических выкладок или «трюков», никогда прежде не виденных, то надо обратить внимание... впрочем, не на сами трюки, а на их идею.

Ни одно из доказательств, приведенных в этом курсе,, автор не запомнил с тех времен, когда сам уч^л физику. Наоборот, он просто вспоминает, что то-то является верным,, и, пытаясь пояснить, как это доказывается, сам придумывает доказательство в тот момент, когда оно необходимо. И всякий, кто действительно изучил предмет, должен быть в состоянии поступать так же, не запоминая доказательств. Вот почему в этой главе мы будем избегать вывода различных положений, сделанных ранее, а просто будем подводить

итоги.

Первая идея, которую нужно будет переварить, — это то, что работа производится силой. Физический термин «работа» ничего общего не имеет с общежитейским ее смыслом...

Физическая работа выражается в виде у Р *'4в-, или «контурный интеграл от Р по Й8 скалярно»; последнее означает^ что если сила направлена, скажем, в одну сторону, а тело,, на которое сила действует, перемещается в другую сторону, то работу совершает только составляющая силы в направлении перемещения. Если бы, например, сила была постоянна,. а смещение произошло на конечный отрезок Аз, то работа, выполненная постоянной силой на этом пути, была бы равна произведение составляющей силы вдоль Аз на Д$. Правило гласит: «работа есть сила на путь», но подразумевается лишь составляющая силы в направлении перемещения, умноженная на Д$, или, что одно и то же, составляющая перемещения в направлении силы, умноженная на Р.

Очевидно, что сила, направленная под прямым углом к перемещению, никакой работы не произведет.

Еслл, далее, вектор смещения Дз разложить на составляющие, т. е. если истинное смещение есть Д$ и мы хотим считать, что оно состоит из составляющих смещения^ Дя в направлении х, Дг/ в направлении у и Дг в направлении г, то вся произведенная работа перемещения тела из одного места в другое может быть рассчитана по трем частям: отдельно работа смещения вдоль х, вдоль у и вдоль г. Работа перемещения вдоль х требует знания только соответствующей составляющей силы Р_х и т. д., так что работа равна Р_х&х-\-+ Р_у Ду + Рг Аг. Когда сила не "постоянна, а движение запутанное, криволинейное, то нужно разбить путь на множество малых Аз, сложить работы переноса тела вдоль каждого Д$ и перейти к пределу при Дз, стремящемся к нулю. В этом смысл понятия «контурный интеграл»,

249

Все, что мы только что сказали, содержится в формуле Т^:=Др'й?з. Но одно дело назвать эту формулу прекрасной, и совсем другое — понять ее смысл и ее следствия.

_к Смысл слова «работа» в физике настолько отличается от того, что подразумевают под этим словом в обычных обстоятельствах, что надо тщательно проследить это различие. Например, по точному смыслу физического определения работы, если вы держите в руках двухпудовую гирю, вы не совершаете никакой работы. Вас бросает в пот, ваши руки дрожат, вы дышите тяжело, как будто взбежали по лестнице, а работы вы не совершаете. Когда вы взбегаете по лестнице, то считается, что вы совершаете работу; когда вы сбегаете по лестнице вниз, то, согласно физике, мир производит работу над вами, а вот когда вы держите предмет, стоя неподвижно, никакой работы не производится. Физическое определение работы отличается от физиологического по причинам, которые мы сейчас кратко изложим.

Когда вы держите груз, вы, конечно, выполняете «физиологическую» работу. Отчего вас бросает в пот? Почему для такого занятия вам необходимо хорошо питаться? Почему все механизмы внутри вас работают в полную силу, когда вы подставили спину под груз? Ведь можно на этот груз не тратить никаких усилий, стоит лишь положить его на стол, и стол спокойно и мирно, не нуждаясь ни в какой энергии, будет держать себе тот же груз на той же высоте! Физиология дает примерно следующее объяснение. У человека и у других животных есть два рода мышц. Одни, называемые поперечнополосатыми, > или скелетными, контролируются нашей волей; таковы, например, мышцы рук. Другие мышцы называются гладкими (например, мышцы внутренностей или у моллюсков большой замыкающий мускул, который закрывает створки). Гладкие мышцы работают очень медленно, но способны «оцепенеть»; это значит, что если, скажем, моллюску нужно удержать свои створки в определенном положении, то он их удержит, какая бы сила на них ни нажимала. Многие часы способен он без устали держать створки под нагрузкой, подобно столу, на который положен груз; мышца «застывает» в определенном положении, молекулы ее как бы схватываются друг с другом, не совершая никакой работы, не требуя от моллюска никаких усилий. Нам же нужны непрерывные усилия, чтобы удержать вес. Это объясняется просто устройством поперечнополосатых мышц. Когда нервный импульс достигает мышечного волокна, оно несколько сокращается и затем опять расслабляется; когда мы держим груз, то в мышцу сплошным и обильным потоком текут нервные импульсы, множество волокон сокращается, пока другие

250

отдыхают. Это даже можно увидеть: когда рука устает держать тяжесть, она начинает дрожать. Происходит это потому, что поток импульсов нерегулярен и уставшие мышцы не успевают вовремя на них ответить. Почему же мышцы собраны по такой неудачной схеме? Неизвестно почему, но природа не сумела создать быстродействующих гладких мышц. А куда удобнее было бы поднимать грузы именно гладкими мышцами: они способны замирать на месте, они могут цепенеть и для этого не нужно было бы совершать никакой работы и не нужна никакая энергия. Правда, у этих мышц, есть один недостаток: они очень медленно работают.

Но вернемся к физике и зададим еще один вопрос: зачем нам подсчитывать выполненную работу? Ответ: потому что это интересно и полезно. Потому что работа, которую производит над частицей равнодействующая всех приложенных к ней сил, в точности равна изменению кинетической энергии этой частицы. Если тело толкнуть, оно наберет скорость, и

Д(02) ₌ Ар.Д₈.

$ 2. Движение при наложенных связях

Силы и работа обладают еще одним интересным свойством. Пусть имеется некоторый уклон, какая-то криволинейная колея, по которой частица должна двигаться без трения. Или имеется маятник — груз на ниточке; нить маятника вынуждает груз двигаться по кругу вокруг точки подвеса. Намотав нить на колышек, можно в качании менять точку подвеса, так что траектория груза будет складываться из двух окружностей разного радиуса. Все это примеры так называемых неподвижных связей без трения.

В движении с неподвижными связями без трения эти связи не производят никакой работы, потому что реакции связей всегда прилагаются к телу под прямым углом к самим связям; так обстоит дело и с реакцией колеи, и с натяжением нити.

Силы, возникающие при движении частицы вниз по склону под действием тяжести, весьма и весьма запутанны: здесь я реакции связи, и сила тяжести, и т. п. И все же, если основывать свои расчеты движения лишь на сохранении энергии и на учете только силы тяжести, получается правильный результат. Это выглядит довольно странно, потому что эта не совсем правильно; надо было бы пользоваться равнодействующей силой. Тем не менее работа, произведенная только силой тяжести, оказывается равной изменению кинетической энергии, потому что работа сил связей равна нулю (фиг. 14.1).

251

Реакция' опоры сила

тяжести

Фиг. 14.1. Силы, действующие на тело, скользящее без трения.

Важное свойство сил, о котором мы говорили, состоит в том, что если силу можно разбить на две или несколько «частей», то работа, выполняемая самой силой при движении по некоторой кривой, равна сумме работ, произведенных каждой «частью» силы. Если мы представляем силу в виде векторной суммы нескольких сил (силы тяжести, реакции связей и т. д., или ^-составляющих всех сил плюс #-составля-ющие и т. д., или еще как-нибудь), то работа всей силы равна сумме работ тех частей, на которые мы её разделили.

§ 3. Консервативные силы

В природе существуют силы, скажем сила тяжести, обладающие замечательным свойством — «консервативностью» (никаких политических идей, ничего двусмысленного в этом .понятии нет). Когда мы подсчитываем, какую работу выполняет сила, двигая тело от одной точки к другой, то вообще работа зависит от траектории; но в особых случаях эта зависимость пропадает. Если работа не зависит от траектории, мы говорим, что сила консервативна. Иными словами, если интеграл от произведения силы на приращения смещений между точками / и 2 (фиг. 14.2) один раз вычислен вдоль кривой Л, а другой — вдоль кривой В, и оба раза получается одинаковое количество джоулей, и если это выполнено для любой кривой, соединяющей эту пару точек, и если это же справедливо для любой пары точек, то говорят, что сила консервативна. В таких обстоятельствах интеграл работы между точками / и 2 можно легко подсчитать и дать для него формулу. А в других случаях это не так просто: нужно задавать еще форму кривой; но когда работа не зависит от кривой, то, ясное дело, остается только зависимость от положений точек / и 2.

Чтобы доказать это, рассмотрим фиг. 14.2. Фиксируем произвольную точку Р. Криволинейный интеграл работы на участке (1,2) можно вычислить, разбив его на две части: работу на участке (/, Р) и работу на участке (Р,2), потому что сейчас у нас всюду консервативные силы, и по какому пути ни пойти, значение работы одно и то же. Работа перемещения из точки Р в любую точку пространства является функцией положения конечной точки. Она зависит и от Р\ но

252

Фиг. 14.2. Возможные пути, соединяющие две точки в поле сил.

мы во всем дальнейшем анализе точку Р закрепим, так что работа перемещения тела от точки Р к точке 2 будет некоторой функцией положения точки 2. Она зависит от того, где находится точка 2; если переместить тело в другую точку, ответ будет другой.

Обозначим эту функцию положения через — V (к, у, г) ; желая отметить, что речь идет именно о точке 2 с координатами х₂, уъ, 2₂, мы будем просто писать ^/(2), сокращая обозначение V [х^ Уь %2) . Работу перемещения из точки / в точку Р можно написать, обратив направление интегрирования (переменив знаки всех й$). Другими словами, работа на участке (1, Р) равна работе на участке (Р, /) со знаком минус:

Р . ^₈ = р . (- Л) = - р

Значит, работа на участке (Р,/) есть— !/(/), а на участке (Р,2) есть— С/(2). Поэтому интеграл от / до 2 равен — V (2) плюс [-(/(/) назад], т.е. + #{/) — 17(2):

(14.1)

= - ^ р • л, и (2) = - 5 р

==[/(/)-[/(2).

Величина И(1)—^(2) называется изменением потенциальной энергии, а V можно назвать потенциальной энергией. Мы будем говорить, что когда предмет находится в положении 2, то он обладает потенциальной энергией 1/(2), а в положении 1 — потенциальной энергией И(1). Когда он находится в положении Р,-его потенциальная энергия равна нулю. Если бы вместо Р взять любую другую точку С}, то оказалось бы (это предоставляется доказать вам самим), что потенциальная энергия всех точек изменилась бы только на постоянную добавку. Так как сохранение энергии зависит только от изменений ее, то эта добавочная постоянная никакого значения не имеет. Вот поэтому точка Р произвольна.

Итак, у нас имеются два утверждения: 1) работа, выполняемая силой, равна изменению кинетической энергии системы,

253

но 2) математически для консервативных сил выполненная работа равна минус изменению функции I/, называемой потенциальной энергией. Как следствие этих утверждений возникает еще одно: если действуют только консервативные силы, сумма потенциальной V и кинетической Т энергий остается постоянной:

(14.2)

Рассмотрим формулу потенциальной энергии для ряда случаев. Если поле тяготения однородно, если мы не поднимаемся до высот, сравнимых с радиусом Земли, то сила постоянна и направлена вертикально, а работа равна просто произведению силы на расстояние по вертикали. Стало быть,

и (г) — тег, (14.3)

и за точку Р с нулевой потенциальной энергией можно принять любую точку на поверхности г = 0. Но можно также говорить, что потенциальная энергия равна т@(2 — б), если нам так уж этого хочется! Всё результаты в нашем анализе останутся теми же, кроме того что потенциальная энергия на поверхности 2 = 0 будет равна — /п#6. Разницы никакой, ведь в расчет надо принимать тольк© разности потенциальных энергий.

Энергия, необходимая для сжатия пружины на расстояние х от точки равновесия, равна

(7(х) = 1**², (14.4)

и нуль потенциальной энергии приходится на точку х = О, т. е. на равновесное состояние пружины. И здесь тоже мы можем добавить любую константу.

Потенциальная энергия тяготения точечных масс Миш на расстоянии г друг от друга равна

. (14.5)

Константа здесь выбрана так, чтобы потенциал исчезал на бесконечности. Конечно, эту же формулу можно применить и к электрическим зарядам, поскольку закон один и тот же:

и(г)>

- (14.6)

Давайте теперь поработаем с одной из этих формул, посмотрим, поняли ли мы их смысл.

Вопрос: С какой скоростью должна отправиться ракета с Земли, чтобы покинуть ее?

Ответ: Сумма кинетической и потенциальной энергий должна быть постоянной; покинуть Землю—значит удалиться от нее на миллионы километров; если у ракеты только-только

254

хватает сил, чтобы покинуть Землю, то надо предположить, что там, вдалеке, ее скорость будет равна нулю и что на бесконечности она будет едва-едва двигаться. Пусть а — радиус Земли, а М — ее масса. Кинетическая плюс потенциальная энергии первоначально были равны ^{^}/2п^V²—ОтМ/а. В конце движения эти обе энергии должны сравняться. Кинетическую энергию в конце движения мы считаем нулевой, потому что тело еле движется (почти с нулевой скоростью), а потенциальная энергия равна величине ОтМ, деленной на бесконечность, т. е. опять нулевая. Значит, с одной стороны стоит разность двух нулей; поэтому квадрат скорости должен быть равен 20М/а. Но ОМ/а² это как раз то, что называют ускорением силы тяжести §. Итак,

1>²=2#а.

С какой скоростью должен двигаться искусственный спутник, чтобы не падать на Землю? Мы когда-то решали эту задачу и получили V² = ОМ/а. Значит, чтобы покинуть Землю, нужна скорость, в <\/2 большая, чем скорость вращения спутника вокруг Земли. Иными словами, чтобы улететь с Земли, нужно вдвое больше энергии (энергия пропорциональна квадрату скорости), чем чтобы облететь вокруг нее. Поэтому исторически сначала были совершены облеты искусственных спутников вокруг Земли, для чего понадобились скорости около 7,8 км/сек. И только потом космические корабли были заброшены в мировое пространство; для этого потребовалось уже вдвое больше энергии, т. е. скорости около 11,2 км/сек.

Продолжим теперь наш обзор характеристик потенциальной энергии. Давайте рассмотрим взаимодействие двух мо-. лекул или двух атомов, например двух атомов кислорода. Когда они находятся далеко друг от друга, они притягиваются с силой, обратно пропорциональной седьмой степени расстояния, а при тесном сближении они сильно отталкиваются. Проинтегрировав минус седьмую степень расстояния, чтобы получить работу, мы увидим, что потенциальная энергия V (функция расстояния между атомами кислорода) изменяется как минус шестая степень расстояния (на больших расстояниях). ' Если мы чертим некую кривую потенциальной энергии У (г) (фиг. 14.3), то при больших г она выглядит как г~⁶, а при достаточно малых г достигает минимума. Минимум потенциальной энергии в точке г« Л означает, что если мы сдвинемся от нее на малое расстояние, на очень малое расстояние, то произведенная работа, равная изменению потенциальной энергии на этом промежутке, почти равна нулю, потому что на донышке кривой энергия почти не меняется. Значит, в этой точке сила равна нулю, и это есть точка равновесия. Условие равновесия можно высказать и иначе: для

255

Фиг. 14.3. Потенциальная энергия взаимодействия двух атомов как функция расстоя-ния между ними.

удаления из точки равновесия в любую сторону нужно затратить работу. Когда два атома кислорода расположены так, что никакой энергии из их силы взаимодействия больше выжать нельзя, то они находятся в наинизшем энергетическом состоянии и промежуток между ними равен Л. Так выглядит молекула кислорода, когда она не нагрета. При нагревании атомы колеблются и расходятся; их можно и совсем развести, но для этого нужно определенное количество работы или энергии, равное разности потенциальных энергий в точках г = А и г = оо. При попытке сблизить атомы энергия быстро возрастает вследствие их взаимного отталкивания.

Почему мы говорим о потенциальной энергии? Потому что идея силы не очень пригодна для квантовой механики, там более естественна идея энергии. Когда мы рассматриваем более сложные взаимодействия: ядерного вещества, молекул и т. д., то, хотя понятия силы и скорости «рассасываются» и исчезают, оказывается, что понятие энергии все же остается. Поэтому в книгах по квантовой механике мы находим кривые потенциальной энергии, но очень редко увидим график силы взаимодействия двух молекул, потому что те, кто изучает эти явления, больше уже привыкли думать об энергии, чем о силе.

Заметим еще, что, когда на тело одновременно действуют несколько консервативных сил, потенциальная энергия тела есть сумма потенциальных энергий от каждой силы. Это то, что мы утверждали и раньше, потому что, когда сила представляется векторной суммой сил, работа, производимая ею, равна сумме работ, производимых отдельными силами; поэтому ее можно представить как изменения потенциальных энергий от каждой силы по отдельности. Значит, общая потенциальная энергия равна сумме всех частей.

Мы можем обобщить это на случай системы многих тел, как, например, Юпитера, Сатурна, Урана и т. д. или атомов кислорода, азота, углерода и т. д., взаимодействующих друг с другом попарно, причем силы взаимодействия каждой пары консервативны. В таких условиях кинетическая энергия всей системы есть просто сумма кинетических энергий всех отдельных атомов, или планет, или частиц, а потенциальная энергия

256

системы есть сумма потенциальных энергиц взаимодействия отдельных пар, рассчитанных в предположении, что других частиц нет. (На самом деле для молекулярных сил это неверно, и формула получается несколько сложнее; для ньютонова тяготения это определенно справедливо, а для молекулярных сил годится лишь как приближение. Можно, конечно, говорить о потенциальной энергии молекулярных сил, но она иногда оказывается более сложной функцией положений атомов, чем простая сумма попарных взаимодействий.) Поэтому потенциальная энергия в частном случае тяготения представляется суммой по всем парам I и / членов — Ст^/г^ [как было показано в уравнении (13.14)]. Уравнение (13.14) выражает математически следующее предложение: общая потенциальная плюс общая кинетическая энергии не меняются со временем. Пусть себе различные планеты вращаются, обращаются и покачиваются, все равно, если подсчитать общую потенциальную и общую кинетическую энергии, то окажется, что их сумма всегда остается постоянной.

$ 4. Неконсервативные силы

Мы потратили немало времени, обсуждая свойства консер-.вативных сил. Что же мы теперь скажем о неконсервативных силах? Мы хотим разобраться в этом вопросе более подробно, чем это обыкновенно делают, и показать, что неконсервативных сил не бывает! Оказывается, все основные силы природы, по-видимому, консервативны. Не подумайте, что это следствие из законов Ньютона. На самом деле, насколько представлял себе это сам Ньютон, силы могут быть неконсервативными, как, например, трение, которое кажется неконсервативным. Употребляя слово «кажется», мы проводим современную точку зрения, которая доказывает, что все глубинные силы, все силы взаимодействия между частицами на самом фундаментальном уровне суть силы консервативные.

Когда мы, например, анализируем систему наподобие большого шарового звездного скопления (фотографию такого скопления мы показывали) с тысячами взаимодействующих звезд, то формула для общей потенциальной энергии состоит просто из суммы слагаемых, каждое из которых выражает взаимодействие какой-то пары звезд; точно та"к же и кинетическая энергия есть сумма кинетических энергий всех отдельных звезд. Но шаровое скопление как целое движется и в пространстве, и окажись мы от него так далеко, что не смогли бы различать отдельных деталей, мы бы приняли его за единый предмет. Если бы при этом к нему были приложены какие-то силы, то часть из них могла бы двигать его как целое и мы бы увидели, как центр этого тела движется.

9 Зак, 55

257С другой стороны, прочие силы могли бы, если так можно выразиться, «тратиться» на повышение потенциальной или кинетической энергии «частиц» внутри «тела». Положим, например, что действие этих сил привело бы к расширению всего скопления и увеличению скоростей «частиц». Общая энергия «тела» на самом деле сохранялась бы. Но, глядя издалека нашими слабыми глазами, не различающими беспорядочных внутренних движений, мы бы видели только кинетическую энергию всего тела и нам бы казалось, что энергия не сохраняется, хотя все дело было бы в том, что мы не различаем деталей. Оказывается, что это всегда так: общая энергия Вселенной, кинетическая плюс потенциальная, если как следует посмотреть, всегда постоянна.

Изучая тончайшие свойства вещества на атомном уровне, не всегда легко разделить общую энергию на две части, потенциальную и кинетическую, и не всегда такое разделение необходимо. Во всяком случае, оно возможно почти всегда, так что давайте говорить, что оно всегда возможно и что потенциальная плюс кинетическая энергии мира постоянны. Итак, общая потенциальная плюс кинетическая энергии внутри целого мира постоянны, и если «мир» — это изолированный кусок вещества, то энергия его постоянна, если только нет внешних сил. Но, как мы видели, часть кинетической и потенциальной энергий предмета может быть внутренней (например, внутренние молекулярные движения), внутренней в том смысле, что мы ее не замечаем. Мы знаем, что в стакане воды все колеблется, все части беспрерывно движутся, так что внутри имеется определенная кинетическая энергия, на которую мы обычно никакого внимания не обращаем. Мы не замечаем движения атомов, рождающего теплоту, и поэтому не называем его кинетической энергией, но основа тепла — все-таки кинетическая энергия. Точно так же и внутренняя потенциальная энергия может, например, иметь форму химической энергии: когда мы сжигаем бензин, выделяется энергия, потому что потенциальные энергии атомов при новом их размещении оказываются ниже, чем при прежнем расположении. Строго говоря, теплоту нельзя'считать чисто кинетической энергией, в нее входит и часть -потенциальной энергии; то же относится и к химической энергии, так что лучше объединить их и говорить, что общая кинетическая и потенциальная энергии внутри тела — это частично тепло, частично химическая энергия и т. д. Во всяком случае, все эти различные •формы внутренней энергии иногда рассматривают как «потерянную» энергию в том смысле, как сказано выше; когда мы изучим термодинамику, нам все это станет яснее.

В качестве другого примера возьмем трение. Неверно, что кинетическая энергия в результате трения исчезает; это не-

258

верно, хотя скользящее тело и впрямь останавливается и ка* жется, что кинетическая энергия пропала. Но она не пропа* дает, ибо атомы внутри тела начинают двигаться с большим запасом кинетической энергии; хоть мы это не в силах увидеть, но можно догадаться об этом по повышению температуры. Конечно, если не обращать внимания на тепловую энергию, то теорема о сохранении энергии покажется неправильной.

Еще в одном случае может показаться, что энергия не сохраняется: когда мы изучаем часть всей системы. Вполне естественно, что если что-то взаимодействует с чем-то внешним и мы пренебрегаем этим взаимодействием, то теорема о сохранении энергии будет выглядеть неверной.

В классической физике в потенциальную энергию включались только тяготение и электричество, но теперь у нас есть и атомная энергия и многое другое. В классической теории, например, свет — это особая форма энергии, но .можно, если нам этого хочется, представить себе энергию света как кинетическую энергию фотонов, и тогда наша формула (14.2) опять окажется справедливой.

§ 5. Потенциалы и поля

Теперь обратимся к некоторым идеям, связанным с потенциальной энергией и с понятием Поля. Пусть два больших тела А и В притягивают к себе третье малое тело с суммарной силой Р. Мы уже отмечали в гл. 12, что сила притяжения частицы может быть представлена как произведение ее массы т на вектор С, зависящий лишь от положения частицы:

Р = тС.

Тяготение можно анализировать, считая, что в каждом месте пространства имеется вектор С, который «действует» на массу, помещенную в это место, но который присутствует там безотносительно к тому, поместили ли мы туда массу или нет. Вектор С имеет 1гри составляющие, и каждая из них является функцией от (я, у, г) — функцией положения в пространстве. Такую вещь мы называем полем и говорим, что тела Л и В создают поле, т. е. «делают» вектор С. Когда тело помещено в поле, то сила действия на это тело равна его массе, умноженной на величину вектора поля в той точке, куда тело

попало.

С потенциальной энергией можно сделать то же самое. Так как'потенциальная энергия, интеграл от (Сила) • (из), может быть записана в виде массы т, умноженной на интеграл от (Поле) • (из) — это простое изменение масштаба, — то потенциальную энергию 1}(х,у,г) тела, расположенного в точке (к, у, г), можно записать как произведение т на другую функцию. Назовем ее потенциалом 4^я. Интеграл \ С • й§ ра-9* 259

вен — 4^я, подобно тому как только масштабом:

= — С/; они отличаются

(14.7)

Зная в каждой точке пространства эту функцию 4^я(л;, у, г), можно немедленно вычислить потенциальную энергию тела в любой точке, а именно 1/(х,у₉г) = т^(х,у_уг). Теперь, как видите, это стало делом пустяковым. Но на самом деле это отнюдь не пустяк, потому что иногда намного приятнее описать поле, задав распределение потенциала во всем пространстве, чем задавать С. Вместо трех сложных компонент векторной функции проще задать скалярную функцию V. Кроме того, когда поле создается многими массами, величину Ч* рассчитывать легче, чем три компоненты, С: потенциалы — скаляры, их можно просто складывать, не заботясь о направлениях сил. А поле С, как мы сейчас увидим, легко восстановить, зная 4^я.

Пусть у нас есть точечные массы т_ь т₂, ... в точках 1, 2 .„, и мы хотим знать потенциал 4^я в некоторой произвольной точке Р. Тогда он оказывается простой суммой потенциалов отдельных масс в точке Р:

(14.8)

Этой формулой, представляющей потенциал в виде суммы" потенциалов отдельных масс, мы пользовались в предыдущей главе, чтобы вычислить потенциал сферического слоя (мы тогда сложили потенциалы всех поясков, на какие был нарезан слой). Итог расчета показан на фиг. 14.4. Потенциал отрицателен, равен нулю на бесконечности, падает как 1/г, пока г не станет равным а, и затем внутри слоя становится постоянным. Вне слоя потенциал равен —От/г (т —масса слоя), что полностью совпадает с потенциалом точки с массой т, помещенной в центре сферического слоя. Но такое совпадение существует только для точек снаружи слоя, а во внутренних точках потенциал оказывается равным —От/а и больше не меняется! А когда потенциал постоянен, то поля нет: если потенциальная энергия не меняется, то сила отсутствует,

Фиг. 14.4. Потенциал тяготеющего сферического слоя радиусом а.

260

потому что, когда мы двигаем тело из одной внутренней точки в другую, работа, выполняемая силой, в точности равна нулю. Почему? Да потому, что работа передвижения тела из одной точки в другую равна минус изменению потенциальной энергии (или соответствующий интеграл от поля равен изменению потенциала). Но потенциальная энергия в обеих точках одинакова, значит, ее изменение равно нулю, и поэтому никакой работы при любых движениях внутри сферического слоя не производится. А это возможно лишь тогда, когда внутри слоя нет никаких сил.

В этих рассуждениях кроется ключ к вычислению силы или напряженности поля, когда потенциальная энергия известна. Пусть потенциальная энергия тела в точке (х,у,г) дана, а мы хотим узнать, какая сила действует на него в этой точке. Для этого нужно знать потенциал не только в этой точке, но и в соседних. Почему? Попробуем вычислить ^-компоненту силы (если мы это сумеем сделать, то точно таким же способом мы вычислим и у- и г-компоненты, определив тем самым всю силу). Если б мы сдвинули тело на малое расстояние да:, то работа, произведенная силой над телом, равнялась бы ^-компоненте силы, умноженной на да: (если да: достаточно мало), и должна была бы быть равна изменению потенциальной энергии при переходе от одной точки к другой:

Д1Г = — АС/ = Р_х&х. (14.9)

Мы просто применили формулу \ Р • й§ = —- АС/ для очень

малых расстояний. Теперь разделим на да: и обнаружим, что сила равна

^Р*--^- (^14ЛО>

Конечно, это не совсем точно/На самом деле ндм нужно перейти в (14.10) к пределу при да:, стремящемся к нулю, потому что (14.10) точно соблюдается только для бесконечно малых да:. Мы узнаем в правой части (14.10) производную V по х и хотим написать — сШ/йх. Но С/ зависит и от х, и от у, и от г, и для такого случая математики придумали другое обозначение, которое рассчитано на то, чтобы напоминать нам, что надо быть очень осторожным, дифференцируя такую функцию. Этот символ напоминает, 'что только х считается изменяющимся, а у и г — нет. Вместо А они просто пишут «6 навыворот», или д. (По-моему, когда начинаешь изучать дифференциальные исчисления, то вообще лучше работать •с д, а не с й\ А всегда хочется сократить, а вот на д как-то рука не поднимается!) Итак, они пишут ди/дх, а иногда в припадке строгости, желая быть очень бдительными, они ставят за дх скобку с маленькими у, г внизу (д1}1дх)_уг, что озна-

261

•!• 4-

Е

и

I

Фиг. 14.5. Поле между параллельными пластинами.

(14.12)

чает: «Продифференцируй V по к, считая у и г постоянными»* Но мы чаще всего не будем отмечать, что осталось постоянным, из контекста это всегда можно понять. Но зато всегда будем писать д вместо и как предупреждение о том, что эта производная берется при постоянных значениях прочих переменных. Ее называют частной производной, т. е. производной, для вычисления которой меняют часть переменных, х.

Итак, мы обнаруживаем, что сила в направлении х равна минус частной производной I] по х:

Р_х = -^- 04.11)

Точно так же и сила в направлении у получается дифференцированием '{] по у при постоянных х и г, а третья составляющая силы опять-таки есть производная по г при х и у постоянных:

р -=—1^. р = ^ди У ду ' * дг '

В этом и состоит способ получать силу из потенциальной энергии. Поле получается из потенциала в точности так же:

Л\1Г ЛШ Л11Г

С __.___11±_ с _ ,^ау с _ ^а (14 13)

* $# * У ду * ² дх

Заметим, кстати, что существует и другое обозначение (впрочем, пока оно нам не понадобится). Так как С есть вектор с компонентами х, у, г, то символы д/дх, д/ду, д/дг, дающие х-₉ у, 2-компоненты поля, чем-то напоминают векторы. Математики изобрели знаменитый символ V, или дгай, называемый «градиентом»; это не величина, а оператор, он делает из скаляра вектор. У него есть три составляющие: ^-компонента этого дгай есть д/дх, у-компонента— д/ду, а 2-компо-нента — д/дг, и мы можем позабавиться, переписав наши формулы в виде

Глядя на У, мы мгновенно узнаем, что наши уравнения векторные; но на самом деле уравнение (14.14) означает в точности то же, что и (14.11) и (14.12); просто это другой способ записи. Не желая писать каждый раз три уравнения, мы пишем одно лишь у{7.

Еще един пример полей и потенциалов связан с электричеством. В этом случае сила, действующая на неподвижное тело, равна заряду, умноженному на поле: Р = ^Е. (В ^-составляющую силы входят, вообще говоря, и члены, которые

262

зависят от магнитного поля. Но из уравнения (12.11) легко увидеть, что сила, действующая на частицу со стороны магнитных полей, всегда направлена поперек поля и поперек ее скорости. Благодаря этому свойству магнетизм не производит никакой работы над движущимся зарядом, потому что сила перпендикулярна перемещению. Значит, вычисляя кинетическую энергию в электрическом и магнитном полях, можно пренебречь вкладом магнитного поля, так как оно не изменяет кинетической энергии.) Положим, что имеется только электрическое поле. Тогда мы можем рассчитать энергию или произведенную работу точно таким же способом, как и для тяготения: вычислить величину ф, равную минус интегралу от Е-^§ от произвольной фиксированной точки Р до точки, в которой вычисляется потенциал; тогда потенциальная энергия в электрическом поле равна просто произведению заряда на эту величину ф:

_Ф(г) = -

В качестве примера рассмотрим две параллельные металлические пластины с поверхностным зарядом ,±0 (на единицу площади) каждая. Такая штука называется плоским конденсатором. Мы уже убедились раньше, что снаружи пластин сила равна нулю, а между ними существует постоянное электрическое поле. Оно направлено от плюса к минусу и равно 0/8о (фиг. 14.5). Мы хотим знать, какую работу шадо совершить, чтобы перенести заряд от одной пластины к другой. Работа равна интегралу от (Сила) -(из). Его можно записать как произведение заряда на значение потенциала на пластинке / минус та же величина на пластине 2:

2

Интеграл здесь легко вычислить, так как сила постоянна, и если обозначить толщину конденсатора и, то интеграл равен

Разница в потенциалах Аф = сгс?/ео называется напряжением и ф измеряют в вольтах. Когда мы говорим, _ччто пара пластин заряжена до определенного напряжения, мы хотим этим сказать, что разность электрических потенциалов двух пластин р^вна стольким-то вольтам. У конденсатора, сделанного из Двух параллельных пластин с поверхностным зарядом ±<т, напряжение (или разность потенциалов этой пары пластин) равно

Глава

15

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

$ 1. Принцип относительности

Свыше двухсот лет считалось, что уравнения движения, провозглашенные Ньютоном, правильно описывают природу. Потом в них была обнаружена ошибка. Обнаружена и тут же исправлена. И заметил ошибку, и исправил ее в 1905 г. один и тот же человек — Эйнштейн.

Второй закон Ньютона, выражаемый уравнением

р__(I (ту)

^г~~ <и- * .

§ 1. Принцип

относительности

§ 2. Преобразование Лоренца

§ 3. Опыт

Майкельсона — ;| Морли

§ 4. Преобразование времени

§ 5. Лоренцево сокращение

§ 6. Одновременность

§ 7. Четырехвекторы

динамика

безмолвно предполагал, что т — величина § 8. Релятивистская

постоянная. Но теперь мы знаем, что это не

так, что масса тела возрастает со скоростью.

В формуле, исправленной Эйнштейном, ш § ⁹*

появилась в таком виде:

(15.1)

и энергии

vi — V²/с²

Здесь «масса покоя» /по — это масса неподвижного тела, а с — скорость света (примерно 3-Ю* км/сек).

Кому теория нужна лишь для решения задач, тому этой формулы будет вполне достаточно. Больше ничего от теории относительности ему не понадобится; он просто введет в законы Ньютона поправку на изменяемость массы. Из самой формулы очевидно, что рост массы в обычных условиях незначителен.

Даже если v — скорость спутника (около 8 км/сек), то и при этих условиях V/с = 3/10⁵; подстановка этой величины в формулу показывает, что поправка к массе составит не более одной двухмиллиардной части самой массы

264

У ;	У'
Джо	Ми к (х'и'%^г) — »• »Р 'или (X "Ц 2}

Фиг. 15.1. Две системы координат, находящиеся в равномерном относительном движении вдоль оси х.

что, пожалуй, заметить невозможно. На самом деле, правильность формулы подтверждена наблюдением^ движения разнообразных частиц, скорость которых практически вплотную подходила к скорости света. В обычных условиях рост массы незаметен; тем замечательней, что он сперва был обнаружен теоретически, а уж после открыт на опыте. Хотя для достаточно больших скоростей рост может быть как угодно велик, открыт он был не таким путем. Закон этот в момент своего открытия означал лишь едва заметное измецение в некоторых цифрах. Тем интереснее разобраться, как сочетание физического размышления и физического эксперимента вызвало его к жизни. Вклад в это дело внесло немалое число людей, но конечным итогом их деятельности явилось открытие Эйнштейна.

У Эйнштейна, собственно говоря, есть две теории относительности. Мы будем здесь говорить только о специальной теории относительности, ведущей свое начало с 1905 г. В 1915 г. Эйнштейн выдвинул еще одну теорию, называемую общей теорией относительности. Она обобщает специальную теорию на случаи тяготения; мы не будем ее здесь об-/ суждать.

Принцип относительности впервые высказал Ньютон в одном из следствий из Законов Движения: «Относительные движения друг по отношению к другу тел, заключенных в каком-либо пространстве, одинаковы, покоится ли это пространство или движется равномерно и прямолинейно без вращения». Это означает, к примеру, что при свободном полете межпланетного корабля с постоянной скоростью все опыты, поставленные на этом корабле, все явления, наблюдаемые на нем, будут таковы, как будто он покоится (конечно, при условии, что наружу из корабля выходить не будут). В этом смысл принципа относительности. Мысль эта — довольно проста; вопрос только в том, верно ли, что во всех опытах, производимых внутри движущейся системы, законы физики выглядят такими же, какими они были бы, если бы система стояла на одном месте. Давайте же сначала посмотрим, так ли выглядят законы Ньютона в движущейся системе. Для этого нам снова понадобится помощь наших молодых людей — Мика и Джо.

265

Пускай Мик отправился вдоль по оси х с постоянной скоростью и и измеряет свое положение в какой-то точке, показанной на фиг. 15.1. Он обозначает «^-расстояние» точки в своей системе координат как х'. Джо стоит на месте и измеряет положение той же точки, обозначая ее я-координату в своей системе через х. Связь между координатами в двух системах ясна из рисунка. За время ^ начало системы Мика сдвинулось на ш, и если обе системы вначале совпадали, то

у,

(15.2)

Если подставить эти преобразования координат в законы Ньютона, то законы эти превращаются в такие же законы, но в штрихованной системе; это значит, что законы Ньютона имеют одинаковый вид в движущейся и в неподвижной системах; потому-то, проделав любые опыты по механике, и нельзя сказать, движется система или нет.

Принцип относительности применялся в механике уже издавна. Многие, в частности Гюйгенс, пользовались им для вывода законов столкновения биллиардных шаров почти так же, как мы в гл. 10 доказывали сохранение импульса.

В прошлом столетии в результате исследования явлений электричества, магнетизма и света интерес к принципу относительности возрос. Максвелл подытожил в своих уравнениях электромагнитного поля многие тщательные исследования этих явлений. Его уравнения сводят воедино электричество, магнетизм, свет. Однако уравнения Максвелла, по-видимому, не подчиняются принципу относительности: если преобразовать их подстановкой (15.2), то их вид не останется прежним. Значит, в движущемся межпланетном корабле оптические и электрические явления не такие, как в неподвижном; их можно использовать для определения его скорости, в частности определить и абсолютную скорость корабля, сделав подходящие электрические или оптические измерения. Одно из следствий уравнений Максвелла заключается в том, что если возмущение поля порождает свет, то эти электромагнитные волны распространяются во все стороны одинаково и с оди-_ч наковой скоростью с = 300 000 км/сек. Другое следствие уравнений: если источник возмущения движется, то испускаемый свет все равно мчится сквозь пространство со скоростью с. Так же бывает и со звуком: скорость звуковых волн тоже не зависит от движения источника.

Эта независимость от движения источника света ставит интересный вопрос. Положим, что мы едем в автомашине со скоростью а, а свет от задних фар распространяется со

266

скоростью с. Дифференцируя первую строчку в (15.2), получаем

~5Г~ "5! "'

Это означает, что, в согласии с преобразованиями Галилея, видимая скорость света по измерениям, проведенным из автомашины, будет не с, а с — и. Например, скорость автомашины 100000 км/сек, а скорость света 300000 км/сек, тогда свет от фар будет удаляться с быстротой 200 000 км/сек. Во всяком случае, измерив скорость света, испускаемого фарами (если только справедливы преобразования Галилея для света), можно узнать скорость автомашины. На этой идее основывалось множество опытов по определению скорости Земли, но ни один из них не удался: никакой скорости обнаружено не было. Вы скоро познакомитесь очень подробно с одним из таких опытов. Вы разберетесь, что в нем случилось и в чем было дело. Что-то неладное творилось в ту пору с уравнениями физики. Но что именно?

$ 2. Преобразование Лоренца

Когда стало ясно, что с уравнениями физики не все ладится, первым долгом подозрение пало на уравнения электродинамики Максвелла. Они только-только были написаны, им было всего 20 лет от роду; казалось почти естественным, что они неверны. Их принялись переписывать, видоизменять и подгонять к тому, чтобы оказался выполненным принцип относительности в галилеевой форме (15.2). При этом в уравнениях электродинамики появились новые члены; они предсказывали новые электрические явления, но эксперимент никаких таких явлений не обнаружил, и пришлось отказаться от попыток изменить уравнения Максвелла. Постепенно всем становилось ясно, что максвелловы законы электродинамики абсолютно правильны, а загвоздка в чем-то другом.

Между тем Лоренц заметил одно замечательно любопытное явление: когда он делал в уравнениях Максвелла подстановку

>•'- *—' , (15.3а)

vi — и²

У —У,

(15.36) (1б.3в)

• УТ^Г' ^(1б'^3г)

то форма уравнений после подстановки не менялась! Уравнения (15.3) теперь называют преобразованием Лоренца.

^ — их/с²

267

А Эйнштейн, следуя мысли, впервые высказанной Пуанкаре,, предположил, что все физические законы не должны меняться от преобразований Лоренца. Иными словами, надо менять не законы электродинамики, а законы механики. Но как же изменить законы Ньютона, чтобы они при преобразованиях Лоренца не менялись? Когда такая цель поставлена, то> остается только переписать уравнения Ньютона так, чтобы выполнялись поставленные условия. Как оказалось, единственное, что нужно от них потребовать, — это чтоб масса т в уравнениях Ньютона приобрела вид (15.1). Стоит внести это изменение, и наступает полная гармония между уравнениями Ньютона и Максвелла. Если вы теперь, желая согласовать измерения, проведенные Миком и Джо, используете преобразования Лоренца, то вы ни за что не узнаете, кто иа них движется, ибо форма всех уравнений в обеих системах координат будет одной и той же!

Интересно понять, что означает эта замена старых преобразований координат и времени на новые. Старые (галилее-вы) кажутся очевидными, новые (лоренцевы) выглядят необычно. Как же это может быть, с логической и с экспериментальной точек зрения, что справедливы не старые преобразования, а новые? Чтобы разобраться в этом, мало изучить законы механики, надо (как это и сделал Эйнштейн) проанализировать и наши представления о пространстве и времени, иначе этих преобразований не поймешь. В течение некоторого времени мы будем изучать эти представления и следствия из них. Покамест же стоит отметить, что такой анализ оказывается вполне оправданным — его результаты согласуются с данными опыта.

$ 3. Опыт Майкельсона — Морли

Мы уже говорили, что в свое время были сделаны попытки определить абсолютную скорость движения Земли сквозь воображаемый «эфир», который, как думали тогда, пропитывает собой все пространство. Самый известный из таких опытов проделали в 1887 г. Майкельсон и Морли. Но только через 18 лет отрицательные результаты их опыта объяснил Эйнштейн.

Для опыта Майкельсона — Морли использовали прибор,*, схема которого показана на фиг. 15.2. Главные части прибора: источник света Л, посеребренная полупрозрачная стеклянная пластинка 5, два зеркала С и Е. Все это жестко-укрепляется на тяжелой плите. Зеркала С и Е размещены были на одинаковом расстоянии Ь от пластинки В. Пластинка В расщепляет падающий пучок света на два, перпендикулярных один к другому; они направляются на зеркала

268

Фиг. 15.2. Схема опыта Майкельсона — Морли.

Мешочник "*1 ^

>.^Ч ^

и отражаются обратно на пластинку В. Пройдя снова сквозь пластинку 5, оба пучка накладываются друг на друга (О и Р). Если время прохождения света от В до Е и обратно равно времени прохождения от В до С и обратно, то возникающие пучки О и Р окажутся в фазе и усилятся взаимно; если же эти времена хоть немного отличаются, то в пучках возникает сдвиг по фазе и, как следствие, — интерференция. Если прибор в эфире «покоится», то времена в точности равны, а если он движется направо со скоростью и, то появится разница во времени. Давайте посмотрим, почему.

Сначала подсчитаем время прохождения света от В к Е и обратно. Пусть время «туда» равно ^\, а время «обратно» равно /2- Но пока свет движется от В до зеркала, сам прибор уйдет на расстояние и1\, так что свету придется пройти путь /, + и1\ со скоростью с. Этот путь можно поэтому обозначить и как с1\\ следовательно,

или /, = •

с — и

(этот результат становится очевидным, если учесть, что скорость света по отношению к прибору есть с — щ тогда как раз время равно длине />, деленной на с — и). Точно так же можно рассчитать и /₂. За это время пластинка В приблизится на расстояние и/₂, так что свету на обратном пути придется пройти только /, — и/2. Тогда

, • , I

С1₂ = Ь — Щ₂, ИЛИ /2 =

Общее же время равно

с + и

26$удобнее это записать в виде

(15.4)

А теперь подсчитаем, сколько времени 4 свет будет идти от пластинки В до зеркала С. Как и прежде, за время 1$ зеркало С сдвинется направо на расстояние и{$ (до положения С'), а свет пройдет по гипотенузе ВС' расстояние с1$. Из прямоугольного треугольника следует

или

откуда

V^е2 — и²

При обратной прогулке от точки С' свету приходится пройти то же расстояние; это видно из симметрии рисунка. Значит, и время возвращения то же (^з)> а общее время равно 2/₃. Мы запишем его в виде

о/ _ 2Ь, ._____2Ь/с (]^^\

/Тп = — ----== —, "•.-'.'_'. '-' . \ IО.О I

" /2 2 /1 2/2

Теперь мы можем чСравнить оба времени. Числители в (15.4) и (15.5) одинаковы — это .время распространения света в покоящемся приборе. В знаменателях член и²/с² мал, если только и много меньше с. Знаменатели эти показывают, насколько изменяется время из-за движения прибора. Заметьте, что эти изменения неодинаковы — время прохождения света до С и обратно чуть меньше времени прохождения до Е и обратно. Они не совпадают, даже если расстояния от зеркал до В одинаковы. Остается только точно измерить эту разницу.

Здесь возникает одна техническая тонкость: а что если длины Ь не точно равны между собой? Ведь точного равенства все равно никогда не добьешься. В этом случае надо просто повернуть прибор на 90°, расположив ВС по движению, а ВЕ —поперек. Различие в длинах тогда перестает играть роль, и остается только наблюдать за сдвигом интерференционных полос при повороте прибора.

Во время опыта Майкельсон и Морли расположили прибор так, что отрезок ВЕ оказался параллельным движению Земли по орбите (в определенный час дня и ночи). Орбитальная скорость равна примерно 30 км/сек, и «снос эфира» в определенные часы дня или ночи и в определенное время года должен достигать этой величины. Прибор был достаточно чувствителен, чтобы, заметить такое явление. Но никакого

270

"различия во временах обнаружено не было — скорость движения Земли сквозь эфир оказалось невозможно обнаружить. Результат опыта был нулевой.

Это было загадочно. Это настораживало. Первую плодотворную идею, как выйти из тупика, выдвинул Лоренц. Он допустил, что все материальные тела при движении сжимаются, но только в направлении движения. Таким образом, если длина покоящегося тела есть 1₀, то длина тела, движущегося со скоростью и (назовем ее Ь\\, где значок || показывает, что движение происходит вдоль длины тела), дается формулой •______

1ц = Ь₀/у 1 -™ . (15.6)

Если эту формулу применить к интерферометру Майкель-сона — Морли, то расстояние от В до С останется прежним» а расстояние от В до Е укоротится до Ь^/1—и²/с². Таким образом, уравнение (15.5) не изменится, но Ь в уравнении (15.4) изменится в соответствии с (15.6). В результате мы получим -

1\ + 12=------_л-----,, " ° = /, • ° =-• (15.7)

1 — и²/с² V1 ~ ^и I^е -

Сравнивая это с (15.5), мы видим, что теперь /1+^2 = 24* Стало быть, если прибор действительно сокращается так, как мы предположили, то становится понятным, почему опыт Майкельсона — Морли никакого эффекта не дал.

Хотя гипотеза сокращения успешно объясняла отрицательный итог опыта, она сама оказалась беззащитной перед обвинением, что ее единственная цель — избавиться от трудностей в объяснении опыта. Она была чересчур искусственной. Однако сходные трудности возникали и в других опытах по обнаружению эфирного ветра, В конце концов стало казаться, что природа вступила в «заговор» против человека, что она прибегла к конспирации и то и дело вводит какие-то новые явления, чтобы свести к нулю каждое явление, с помощью которого человек пытается измерить и.

И наконец, было признано (на это указал Пуанкаре), что полная конспирация — это и есть закон природы] Пуанкаре предположил, что в природе есть закон, заключающийся в том, что нельзя обнаружить эфирный ветер никаким способом, т. е. абсолютную скорость обнаружить -невозможно,

$ 4. Преобразование времени

При проверке, согласуется ли идея о сокращении расстояний с фактами, обнаруженными в других опытах, оказывается, что все действительно согласуется, если только

271считать, что время тоже преобразуется и притом так, как это высказано в уравнении (15.3). По этой-то причине время ^з, которое затратит свет на путешествие от В к С и обратно, оказывается неодинаковым, если его вычисляет человек, делающий этот опыт в движущемся межпланетном корабле, или же неподвижный наблюдатель, который следит со стороны за этим кораблем. Для первого время и равно просто

2Ь/с, а для второго оно равно 2Ь/с <\/1 — и²/с² [уравнение (15.5)]. Иными словами, если вы со стороны наблюдаете, как космонавт закуривает папиросу, вам кажется, что он делает это медленнее, нежели обычно, хотя сам он считает, что все происходит в нормальном темпе. Стало быть, не только длины должны сокращаться, но и приборы для измерения времени («часы») должны замедлить свой ход. Иначе говоря, когда часы на космическом корабле отсчитывают, по мнению космонавта, 1 сек, то, по мнению стороннего наблюдателя, пройдет 1/-\Л —и²/с² сек.

Замедление хода часов в движущейся системе — явление весьма своеобразное, и его стоит пояснить. Чтобы понять его, давайте проследим, что бывает с часовым механизмом, когда часы движутся. Так как это довольно сложно, то лучше часы выбрать попроще. Пусть это будет стержень (метровой длины) с зеркалами на обоих концах. Если пустить световой сигнал между зеркалами, то он будет без конца бегать туда-сюда, а часы будут тикать каждый раз, как только свет достигнет нижнего конца. Конструкция довольно глупая, но в принципе такие часы возможны. И вот мы изготовим двое таких часов со стержнями равной длины и синхронизуем их ход, пустив их одновременно; ясно, что они всегда будут идти одинаково: ведь длина стержней одна и та же, а скорость света с — тоже. Дадим одни часы космонавту; пусть он возьмет их с собой на межпланетный корабль и поставит их поперек направления движения, тогда длина стержня не изменится. Да, но откуда мы знаем, что поперечная длина не меняется? Наблюдатель может договориться с космонавтом, что на высоте у в тот момент, когда стержни поравняются, каждый сделает другому на его стержне метку. Из симметрии следует, что отметки придутся на те же самые координаты у и #', в противном случае одна метка окажется ниже или выше другой и, сравнив их, можно будет сказать, кто из них двигался на самом деле.

Так что же происходит в движущихся часах? Входя на борт корабля, космонавт убедился, что это вполне приличные стандартные часы и ничего особенного в их поведении на корабле он не заметил. Если бы он что-то заметил, то сразу понял бы, что он движется; если хоть что-то меняется

272

в результате движения, то ясно, что он движется. Принцип же относительности утверждает, что в равномерно движущейся системе это невозможно; стало быть, в часах никаких изменений не произошло. С другой стороны, когда внешний наблюдатель взглянет на пролетающие мимо часы, он увидит, что свет, перебегая от зеркала к зеркалу, на самом деле движется зигзагами, потому что стержень все время перемещается боком. Мы уже анализировали такое зигзагообразное движение в связи с опытом Майкельсона — Морли. Когда за заданное время стержень сдвинется на расстояние, пропорциональное и (фиг. 15.3), то расстояние, пройденное за то же время светом, будет пропорционально с, и поэтому расстояние по вертикали пропорционально ^/с² •- и².

Значит, свету понадобится больше времени, чтобы пройти движущийся стержень из конца в конец, — больше, чем когда стержень неподвижен. Поэтому кажущийся промежуток времени между тиканьями движущихся часов удлинится в той же пропорции, во сколько гипотенуза треугольника длиннее катета (из-за этого в формуле и появляется корень). Из рисунка также видно, что чем и больше, тем сильнее видимое замедление хода часов. И не только такие часы начнут отставать, но (если только теория относительности правильна!) любые часы, основанные на любом принципе, также должны отстать, причем в том же отношении. За это можно поручиться, не проделывая дальнейшего анализа. Почему?

Чтобы ответить и на этот вопрос, положим, что у нас есть еще двое часов, целиком сходных между собой, скажем, с зубчатками и камнями, или основанных на радиоактивном распаде, или еще каких-нибудь. Опять согласуем их ход с нашими первыми часами. Пусть, пока свет прогуляется до конца и обратно, известив о своем прибытии тиканьем, за это время новая модель завершит свой цикл и тоже возвестит об этом какой-нибудь вспышкой, звонком или любым иным сигналом. Захватим с собой на космический корабль новую модель часов. Может быть, эти часы уже не отстанут, а будут идти так же, как и неподвижный двойник. Ах, нет! Если они разойдутся с первой моделью (которая тоже находится на корабле), то человек сможет использовать этот разнобой между показаниями обоих часов, чтобы определить скорость корабля. А ведь считается, что скорость узнать немыслимо. Смотрите, как ловко! Нам не нужно ничего знать о механизме работы новых часов, не нужно знать, что именно в ник замедляется, мы просто знаем, что, какова бы ни была причина, ход часов будет выглядеть замедленным, и притом в любых часах одинаково.

Что же выходит? Если все движущиеся часы замедляют свой ход, если любой способ измерения времени приводит к

273