Теперь займемся задачей потруднее, когда силы уже не постоянны и не направлены вниз, как раньше. Мы рассмот­рим, например, движение планеты вокруг Солнца или спут­ника вокруг Земли.

Сперва мы рассмотрим движение тела, которое падает из точки 1 прямо на Солнце или на Землю (фиг. 13.2). Будет ли в этих обстоятельствах сохраняться энергия? Единственное отличие от того, что было раньше, — что теперь сила не по­стоянна, она меняется по мере падения. Мы знаем, что сила равна   

Конечно, и теперь кинетическая энергия при падении возра­стает, как возрастала и тогда, когда нас еще не волновало изменение силы с высотой. Вопрос только в том, можно ли отыскать иную, отличную от mgh, формулу для потенциаль­ной энергии, найти другую функцию расстояния от Земли, чтобы для нее сохранение энергии не нарушалось.

Этот одномерный случай рассматривать легко, потому что мы знаем, что изменение кинетической энергии равно инте­гралу от начала движения до конца от силы — F по перемещению dr

В формуле нет никакого косинуса, потому что сила и переме­щение направлены одинаково.

Перед нами другая формула для потенциальной энергии. Уравнение говорит нам, что величина ½тv²−GmM/r, вычисленная в точке 1, в точке 2 или в любой дру­гой, остается постоянной.

У нас теперь есть формула для потенциальной энергии в поле тяготения для вертикального движения. Здесь возни­кает интересный вопрос: можно ли добиться вечного движе­ния в поле тяготения? Поле-то меняется, в разных местах у него разная напряженность и разное направление. Нельзя ли взять бесконечную ленту без трения и запустить ее, ска­жем, так: пусть она сперва поднимает тело из одной точки в другую, потом проводит его по дуге окружности в третью точку, опускает на некоторый уровень, сдвигает по наклон­ному направлению и выводит на новый путь и т.п., так что по возвращении в начальную точку оказывается,  что поле тяготения совершило некоторую работу и кинетическая энер­гия тела возросла? Нельзя ли так начертить эту траекторию, чтобы, обойдя по ней, тело приобрело чуть-чуть больше ско­рости, чем имело вначале? Так получится вечное движение. Но ведь оно невозможно, значит, мы обязаны доказать, что такая траектория немыслима. Мы должны доказать следую­щее предположение: раз трения нет, тело должно вернуться ни с меньшей, ни с большей скоростью, а как раз с такой, чтобы еще и еще делать круги по этому замкнутому пути. Или, другими словами, вся работа, произведенная в движе­нии по замкнутому пути, должна быть нулем для сил тя­жести, потому что если бы она не была нулем, то можно было бы получить энергию за счет такого движения тела. (Если бы работа оказалась меньше нуля, так что скорость в конце обхода уменьшилась бы, то для получения энергии стоило бы только повернуть обратно; силы ведь зависят не от направ­ления движения, а только от положения. Если в одном на­правлении работа получится с плюсом, то в обратном она будет с минусом; любая ненулевая работа означает создание вечного двигателя.)

Так что же, действительно ли работа равна нулю? Попро­буем показать, что да. Сперва мы лишь на пальцах поясним, почему это так, а уж потом оформим математически. Поло­жим, мы выдумали траекторию, показанную на фиг. 13.3; масса падает от 1 к 2, поворачивает до 3, обратно подни­мается к 4, затем через 5, 6, 7, 8 движется обратно к 1. Все линии идут либо по радиусу, либо по кругу с центром М. Какая работа совершается на таком пути? Между 1 и 2 она равна

От 2 до 3 сила в точности направлена поперек движения, и W₂₃=0. От 3 к 4

Так    же    получаются    W₄₅=0,   

W₆₇=0,

W₈₁=0.

Всего

Но возникает подозрение, не слишком ли эта кривая проста. А что даст настоящая траектория? Что ж, попробуем настоящую. Сразу же ясно, что ее можно достаточно точно представить как ряд зазубрин (фиг. 13.4) и поэтому... и т. д., что и требовалось доказать. Но надо еще посмотреть, действительно ли работа обхода вокруг маленького треуголь­ника тоже равна нулю. Увеличим один из треугольников (см. фиг. 13.4). Равны ли работы по пути от а к b и от b к с работе, совершаемой, когда идешь напрямик от а к с? Пусть сила действует в каком-та направлении. Расположим тре­угольник так, чтобы у его катета bс было как раз такое на­правление. Предположим также, что сам треугольник так мал, что сила всюду на нем постоянна. Какова работа на отрезке ас? Она равна

(поскольку сила постоянна). Теперь определим работу на двух катетах. На вертикальном катете аb сила перпендику­лярна к ds, так что работа равна нулю. На горизонтальном катете bс

Мы убеждаемся таким образом, что работа обхода по бокам маленького треугольника такая же, как и по склону, потому что s·соs(θ) равно x. Мы уже показали прежде, что работа при движении по зазубринам (как на фиг. 13.3) равна нулю, а теперь видим, что производимая работа одинакова, незави­симо от того, движемся ли мы по зазубринам или срезаем путь между ними (если только зазубрины малы, но ведь ничто не мешает сделать их такими); поэтому работа обхода по любому замкнутому пути в поле тяготения равна нулю.

Это очень примечательный результат. Благодаря ему нам становятся известны такие подробности о движении планет, о которых мы раньше и не догадывались. Выясняется, что когда планета вертится вокруг Солнца одна, без спутников и в отсутствие каких-либо других сил, то квадрат ее скорости минус некоторая константа, деленная на расстояние до Солнца, вдоль орбиты не меняется ½v²−GM/r=const. Например, чем ближе планета к Солнцу, тем быстрее она движется. Но насколько быстрее? А вот насколько: если вместо движения вокруг Солнца вы толкнете ее к Солнцу с той же скоростью и подо­ждете, пока она не упадет на нужное расстояние, то приобре­тенная скорость будет как раз такой, какой планета обла­дает на этой орбите, потому что получился просто другой пример сложного пути обхода. Если планета вернется по такому пути обратно, ее кинетическая энергия окажется прежней. Поэтому независимо от того, движется ли она по настоящей невозмущенной орбите или же по сложному пути (но без трения), кинетическая энергия в момент возвраще­ния на орбиту оказывается как раз такой, какой нужно.

Значит, когда мы проводим численный анализ движения планеты по орбите (как мы делали раньше), мы можем про­верить, не сделали ли заметных ошибок при расчете этой по­стоянной величины, энергии, на каждом шаге; она не должна меняться. Для орбиты, приведенной в табл. 9.2 (стр, 174), энергия

меняется примерно на 1,5% с начала движения до конца. Почему? То ли потому, что в численном методе мы пользовались конечными приращениями, то ли из-за мелких погрешностей в арифметике.

Рассмотрим энергию в другой задаче: задаче о массе, под­вешенной на пружине. Когда отклоняют массу от положения равновесия, сила, восстанавливающая ее положение, пропор­циональна смещению. Можно ли в этих условиях вывести закон сохранения энергии? Да, потому что работа, совершаемая этой силой, равна

Значит, у массы, подвешенной на пружине, сумма кинетиче­ской энергии ее колебаний и ½kx²   постоянна. Посмотрим, как это происходит. Оттянем массу вниз; она неподвижна и скорость ее равна нулю, но х не равно нулю, теперь вели­чина х максимальна, так что имеется и некоторый запас энер­гии (потенциальной). Отпустим теперь массу: начнется какой-то процесс (в детали мы не вникаем), но в любое мгно­вение кинетическая плюс потенциальная энергии будут по­стоянны. Например, когда масса проходит через точку перво­начального равновесия, то х=0, но тогда значение v² наи­большее, и чем больше величина x², тем меньше v² и т. д. Значит, во время колебаний соблюдается равновесие между величинами х² и v². Мы получили, таким образом, новое пра­вило: потенциальная энергия пружины равна ½kх², если сила равна −kx.