Теперь рассчитаем поля, встречающиеся
во многих физических задачах, когда речь идет о распределении масс. Мы
пока не рассматривали распределения масс, а занимались только отдельными частицами.
Но интересно рассчитать и поля, образуемые более чем одной частицей. Для начала
найдем силу притяжения со стороны плоского пласта вещества бесконечной
протяженности. Сила притяжения единичной массы в данной точке Р (фиг.
13.5), конечно, направлена к плоскости. Расстояние от точки до плоскости есть а,
а масса единицы площади этой плоскости есть μ. Пусть μ
будет постоянной: слой однороден. Какой же величины поле dC создается массой dm, удаленной от О
не ближе, чем на ρ, и не дальше, чем на ρ+dρ (О —
это точка плоскости, ближайшая к Р)? Ответ:
Но оно, это поле, направлено вдоль r, а мы понимаем, что
из трех составляющих С после сложения всех dС должна
остаться лишь х-составляющая. Она равна
Все массы dт, которые находятся на одном и том же расстоянии
r от Р,
дадут одно и то же значение dСx, так что за dт можно сразу
принять массу всего кольца между ρ и ρ+dρ, т.е. dт=
μ2πρdρ (2πρdρ — это площадь
кольца радиусом ρ и шириной dρ при dρ<<ρ). Итак,
Но ρdρ = rdr из-за того, что r2 = ρ2
+ а2. Поэтому
Стало быть, сила не зависит от расстояния а! Почему?
Не ошиблись ли мы? Казалось бы, чем дальше от плоскости, тем сила слабее. Но нет!
Если точка находится вплотную к плоскости, то большая часть вещества
притягивает ее под неудачными углами, а если вдалеке, то у большей части вещества
притяжение направлено прямее к плоскости. На любом расстоянии самая
«влиятельная» часть плоскости лежит в некотором конусе. С удалением сила
ослабляется обратно пропорционально квадрату расстояния, но в том же конусе под
тем же углом оказывается больше вещества, а рост количества вещества
тоже пропорционален квадрату расстояния! Этот анализ может быть сделан более
строгим, если заметить, что дифференциал вклада любого данного конуса не
зависит от расстояния в результате противоположных изменений напряженности
поля данной массы и количества самой этой массы (с ростом расстояния). Впрочем,
на самом деле сила не постоянна, ибо на другой стороне плоскости она меняет
знак.
Мы решили, кстати, и задачу по
электричеству: мы доказали, что у заряженной пластины, каждая единица площади
которой несет заряд σ, электрическое поле равно σ/2ε0
и направлено от пластины, если она заряжена положительно, и к ней, если
она заряжена отрицательно. Чтобы доказать это, надо просто вспомнить, что в
законе тяготения G играет ту же
роль, что 1/(4πε0)в электричестве.
А теперь пусть имеются две пластины,
одна с положительным зарядом +σ, а другая с отрицательным −σ
(на единицу площади), и пусть промежуток между ними равен D. Каково поле этих
пластин? Снаружи пластин поле равно нулю. Отчего? Оттого, что одна из них
отталкивает, а другая притягивает и у обеих сила не зависит от расстояния; значит,
силы уничтожаются! А вот поле между пластинами вдвое больше, чем поле
одной пластины, направлено оно от положительной пластины к отрицательной и
равно Е=σ/ε0.
Перейдем теперь к еще более интересному
и важному вопросу; впрочем, мы давно уже ответили на него, предположив, что
сила притяжения Земли в точке на ее поверхности или над нею такая же, как если бы вся масса Земли сосредоточилась в ее
центре. Справедливость этого предположения не очевидна: ведь когда мы
находимся у самой земли, какая-то часть ее массы очень к нам близка, а другая
далека и т.д. Когда мы складываем действие всех таких масс, то кажется чудом,
что в конце концов сила сводится к тому, что вся Земля сжалась в одну точку,
стянулась к своему центру!
Мы теперь покажем, что это чудо
обыкновенное; чтобы продемонстрировать
это, разобьем Землю на тонкие сферические слои. Пусть вся масса сферы равна т.
Давайте рассчитаем потенциальную энергию частицы массы т' на
расстоянии R от центра сферы (фиг.
13.6). Мы увидим,
что потенциальная энергия как раз такая, как если бы масса т сферы
вся собралась в ее центре. (Легче иметь
дело с потенциальной энергией, чем с напряженностью поля: не нужно думать об
углах, а просто складывать потенциальные энергии всех частей сферы.) Нарежем сферу на узкие пояски, и пусть x — расстояние плоскости пояска от центра сферы; тогда вся масса пояска
толщиной dх находится на
одном и том же расстоянии r от точки Р,
а потенциальная энергия притяжения
этого пояска равна −Gm'dm/r. Сколько же массы содержится в пояске dx? Вот
сколько:
где μ=т/4πа2 —
поверхностная плотность массы. (Вообще площадь поверхности шарового пояса
пропорциональна его высоте.) Поэтому потенциальная энергия притяжения массы dт есть
Но мы видим, что
r2=y2+(R−x)2= y2+R2−2Rx+x2=
a2+R2−2Rx.
Значит,
2rdr= −2Rdx
или
Поэтому
и получается
Стало быть, для тонкого слоя потенциальная энергия массы т',
внешней по отношению к слою, такова, как если бы масса слоя собралась в его
центре. Землю же можно представить в виде ряда таких слоев, и притяжение
каждого из слоев зависит только от его массы; сложив их, получим всю массу планеты;
значит, и вся Земля действует так, словно все ее вещество находится в ее
центре!
Но посмотрим, что
произойдет, если точка Р окажется внутри слоя. Проделывая те же расчеты
вплоть до интегрирования, мы получим разность двух значений r, но уже в
другой форме: (а+R)−(а−R)=2R (двойное расстояние
от Р до центра). Другими словами, теперь W становится равной W=−Gтт'/а, что не
зависит от R, т. е. точка
Р всюду внутри сферы обладает одной и той же энергией тяготения. А
значит, на нее не действует никакая сила, и не нужно никакой работы, чтобы
двигать ее внутри. Когда потенциальная энергия тела всюду, в любой точке
внутри сферы, одинакова, то на тело не действует никакая сила. Внутри сферы
тело не испытывает действия cил, сила
действует только снаружи.