Мы хотим побеседовать теперь об оставшихся фундаментальных силах. Называем мы их фундаментальными потому, что законы их действия фундаментально просты. Сперва рассмотрим электрическую силу.

Тела несут в себе электрические заряды, которые состоят просто из электронов и протонов. Если два тела заряжены, меж ними действует электрическая сила; если величины зарядов равны соответственно q₁ и q₂, то сила изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния между зарядами.

Для разноименных зарядов этот закон похож на закон тяготения, но для одноименных сила становится отталкивающей и ее знак (направление) меняется. Сами заряды q₁ и q₂ могут быть и положительными и отрицательными; практически, пользуясь формулой, можно получить правильный знак силы, если поставить возле q их знаки. Сила направлена вдоль отрезка, соединяющего заряды. Коэффициент в формуле зависит, конечно, от выбора единиц силы, заряда и длины. Обычно заряд измеряют в кулонах, промежуток — в метрах, а силу — в ньютонах. Чтобы получить силу в ньютонах, константа (по историческим причинам ее пишут в виде 4πε₀ ) должна принимать численное значение

т.е.

ε₀=8,854 · 10 ⁻¹² K²/Nm²

Итак, закон силы для покоящихся зарядов имеет вид

В природе самый важный из всех зарядов — это заряд отдельного электрона, он равен 1,60·10⁻¹⁹ кулон. Кто работает не с большими зарядами, а с электрическими силами между фундаментальными частицами, те предпочитают как-то выделить сочетание (q_эл)²/(4πε₀), в котором q_эл определяется как заряд электрона. Это сочетание часто встречается, и для упрощения расчетов его обозначают е²; его численное значение в системе СИ оказывается равным (1,52·10⁻¹⁴)². Удобство пользоваться константой в этой форме заключается в том, что сила в ньютонах, действующая между двумя электронами, запишется просто как е²/r² (r дано в метрах), без каких-либо коэффициентов. На самом деле электрические силы намного сложней, чем следует из этой формулы, потому что формула относится к покоящимся телам. Сейчас мы рассмотрим более общий случай.

Анализ фундаментальных сил (не сил трения, а электрических сил или сил тяготения) связан с интересным и очень важным понятием.

Теория этих сил намного сложнее, чем об этом следует из закона обратных квадратов. Закон этот действует лишь тогда, когда взаимодействующие тела находятся в покое. Поэтому нужен усовершенствованный метод обращения с очень сложными силами — силами, которые возникают, когда тела начинают двигаться запутанным образом. Как оказалось, для анализа сил такого типа очень полезен подход, основанный на введении понятия «поля». Чтобы пояснить мысль на примере, скажем, электрической силы, положим, что в точке Р находится заряд q₁, а в точке R — заряд q₂. Сила, действующая между зарядами, равна

Чтобы проанализировать эту силу при помощи понятия поля, мы говорим, что заряд q₁ в точке Р создает в точке R такие «условия», при которых заряд q₂, попадая в R, «ощущает» действие силы. Это один из мыслимых путей описания действия силы. Может быть, он выглядит странно: мы говорим, что действие силы на заряд q₂ в точке R можно разбить на две части — на q₂ и , причем величина существует в точке R безотносительно к тому, есть ли там заряд или нет (лишь бы все прочие заряды были на своих местах). Величина есть «условие», созданное зарядом q₁, а — ответ, отклик заряда q₂ на . Величину называют электрическим полем. Это — вектор. Формула для электрического поля , созданного в точке R, зарядом q₁, находящимся в точке Р, такова: заряд q₁, умноженный на постоянную 1/(4πε₀), деленный на r² (r — расстояние от Р до R); поле действует по направлению радиус-вектора (вектор направления радиус-вектора — это радиус-вектор, деленный на свою длину). Таким образом, выражение для таково:

А затем мы пишем

т.е. связываем силу, поле и заряд в поле. В чем же суть всего этого? Суть в том, что анализ разделяется на две части. Одна часть говорит, что что-то создает поле, а другая — что оно действует на что-то. Позволяя нам рассматривать две части независимо, это разделение упрощает во многих случаях расчеты трудных задач. Когда зарядов много, то сперва мы рассчитываем суммарное электрическое поле, создаваемое этими зарядами в R, a потом, зная величину заряда, помещенного в R, находим силу, действующую на него.

Да и в случае тяготения мы можем сделать то же самое. Сила теперь

Анализ полностью совпадает: сила притяжения тела в поле тяготения равна произведению массы тела на поле . Сила, действующая на т₂, равна массе m₂, умноженной на поле , созданное массой т₁, т.е.

Значит, поле , создаваемое массой т₁, есть

оно, как и электрическое поле, направлено по радиусу.

Такое разделение на две части не так уж тривиально, как могло бы показаться на первый взгляд. Оно было бы тривиальным, было бы просто иной записью того же самого, если бы законы действия сил были совсем просты, но они очень сложны, и оказывается, что поле настолько реально, что почти не зависит от объектов, создающих его. Можно колебать заряд, и влияние этого (поле) скажется на расстоянии. Если колебания прекратятся, в поле все равно будут ощущаться следы этих колебаний, потому что взаимодействие двух частиц не происходит мгновенно. Оттого и желательно уметь запоминать, что здесь раньше происходило. Если сила действия на заряд зависит от того, где другой заряд был вчера и каким он тогда был, то должна быть возможность проследить за тем, что было вчера; в этом и состоит сущность поля. Чем сложнее силы, тем реальней поле, и наша техника разделения становится все менее и менее искусственной.

Желая анализировать силы при помощи полей, мы нуждаемся в законах двоякого рода. Первые — это отклик на поле. Они дают нам уравнения движения. Например, закон отклика массы на поле тяжести состоит в том, что сила равна массе, умноженной на поле тяжести, или если тело еще и заряжено, то отклик заряда на электрическое поле равен заряду, умноженному на электрическое поле. Вторая часть анализа природы в таких положениях — это формулировка законов, определяющих напряженность поля и способ его возникновения. Эти законы иногда называют уравнениями поля. В нужный момент мы с ними познакомимся, а пока скажем о них лишь несколько слов.

Вот вам для начала самое замечательное свойство поля, оно абсолютно точно и легко усваивается. Общее электрическое поле, создаваемое группой источников, есть векторная сумма полей, создаваемых по отдельности первым, вторым и т.д. источниками. Иными словами, когда поле создано множеством зарядов и если отдельное поле первого есть , а второго — и т.д., то мы должны просто сложить эти векторы, чтобы получить общее поле. Принцип этот выражается в виде

Можно ли эти методы применить к тяготению? Силу притяжения двух масс т₁ и т₂ Ньютон выразил в виде

Но в соответствии с понятием поля можно сказать, что т₁ создает поле во всем окружающем пространстве и сила, притягивающая т₂, равна

По аналогии с электричеством

и тогда поле тяжести нескольких масс равно

В гл. 7, где рассматривалось движение планет, мы по существу использовали именно этот принцип. Мы складывали все векторы сил, чтобы обнаружить общую силу, действующую на планету. Разделив на ее массу, мы и получим последнюю формулу.

Уравнения выражают так называемый принцип суперпозиции, или наложения полей. Этот принцип провозглашает, что общее поле нескольких источников есть сумма полей, создаваемых каждым из них. Насколько нам ныне известно, закон этот в электричестве наверняка выполняется даже тогда, когда заряды движутся и закон сил усложняется. Бывают иногда кажущиеся нарушения, но внимательный анализ всегда доказывает, что просто забыли какой-нибудь из движущихся зарядов. Но в отличие от электрических зарядов для сильных полей тяжести он не совсем точен. В теории тяготения Эйнштейна доказывается, что уравнение Ньютона

соблюдается лишь приближенно.

С электричеством тесно связана сила другого рода, называемая магнитной; ее тоже можно анализировать через понятие поля. Некоторые из качественных связей между этими силами видны в опыте с электронной трубкой (фиг. 12.3). На одном конце трубки помещен источник, испускающий поток электронов, а внутри имеется устройство, разгоняющее электроны до большой скорости и посылающее часть их на светящийся экран на другом конце трубки. Световое пятно в центре экрана, в месте ударов электронов, позволяет проследить за их путем. На пути к экрану пучок проходит сквозь узкую щель между параллельными металлическими пластинами, расположенными, допустим, плашмя. К пластинам подведено напряжение, позволяющее любую из них заряжать отрицательно. Напряжение создает между пластинами электрическое поле.

В первой части опыта отрицательное напряжение подается на нижнюю пластину, т.е. на ней образуется избыток электронов. Одноименные заряды отталкиваются, и поэтому светящееся пятно на экране взлетает внезапно вверх. (Можно сказать и иначе: электроны «чувствуют» поле и отвечают отклонением вверх.) Затем переключим напряжение и зарядим отрицательно уже верхнюю пластину. Световое пятно на экране опустится вниз, показывая, что электроны пучка отталкиваются электронами верхней пластины. (Иначе говоря, электроны «ответили» на изменение направления поля.)

Во второй части опыта напряжение на пластины уже не подается, а вместо этого проверяется влияние магнитного поля на электронный пучок. Для этого необходим подковообразный магнит, достаточно широкий, чтобы «оседлать» практически всю трубку. Предположим, что мы подвели магнит снизу к трубке, обхватили им ее и направили полюсы кверху (в виде буквы U). Мы замечаем, что пятно на экране смещается, скажем, кверху, когда магнит приближается снизу. Выходит, что магнит отталкивает пучок. Но не так все просто: если мы перевернем магнит, не переставляя его сторон, и приблизим его к трубке сверху, то пятно снова сдвинется вверх, т.е. вместо отталкивания наступило притяжение. А теперь вернем магнит в первоначальное положение, когда он обхватывал трубку снизу. Да, пятно по-прежнему отклоняется кверху; но повернем магнит на 180° вокруг вертикальной оси, чтобы он имел вид буквы U, но уже с переставленными полюсами. Смотрите-ка, пятно прыгает вниз и остается там, даже если мы переворачиваем теперь U вверх ногами.

Чтобы понять такое своеобразное поведение, нужно придумать какую-то иную комбинацию сил. Объясняется все это вот как. Вдоль магнита, от полюса к полюсу, тянется магнитное поле. Оно направлено всегда от одного определенного полюса (который можно снабдить какой-нибудь меткой) к другому. Вращение магнита вокруг его оси не меняет направления поля, а перестановка полюсов местами меняет. Например, если электроны летят горизонтально по оси x, а магнитное поле тоже горизонтально, но направлено по оси у, то магнитная сила, действующая на движущийся электрон, направлена по оси z (вверх или вниз, это уже зависит от того, как направлено поле — по оси у или против нее).

Мы пока не дадим полного закона сил взаимодействия зарядов, движущихся друг относительно друга в произвольных направлениях, потому что он чересчур сложен, но зато приведем формулы для случая, когда поля известны. Действие силы на заряженный предмет зависит от его движения; когда предмет неподвижен, сила, действующая на него, считается пропорциональной заряду с коэффициентом, называемым электрическим полем. Когда тело движется, сила изменяется, и поправка, новый «кусок» силы, оказывается линейно зависящей от скорости и направленной поперек скорости и поперек другой векторной величины — магнитной индукции . Когда составляющие электрического поля и магнитной индукции , а составляющие скорости то составляющие суммарной электрической и магнитной сил, действующих на движущийся заряд q, таковы:

Если случайно магнитное поле имеет только компоненту В_у, а скорость — только v_x, то y магнитной силы остается составляющая вдоль z, поперек В и у.