Чтобы
пользоваться законами Ньютона, мы должны иметь какую-то формулу для сил; ведь эти законы говорят нам: подумайте
о силах. Если тело ускоряется, стало быть, на него что-то действует. А как
найти это «что-то»? Нашей программой на будущее должно быть отыскание
законов для сил. Некоторые из таких законов были найдены самим Ньютоном.
Например, формула для силы тяготения. Часть сведений о силах другого рода
содержится в Третьем законе, который утверждает равенство сил действия и
противодействия.
Продолжим
наш предыдущий пример. Что за силы действуют на тело вблизи поверхности Земли?
Это — сила тяжести, направленная вертикально вниз, пропорциональная массе тела
и для высот, много меньших, чем радиус Земли R, почти не зависящая от высоты; она равна F=GтМ/R2=тg, где g=GМ/R2 —
так называемое ускорение силы тяжести. В горизонтальном направлении тело
по-прежнему будет двигаться с постоянной скоростью, однако движение в
вертикальном направлении более интересно. По Второму закону Ньютона
После сокращения
массы т получаем, что ускорение в направлении z постоянно и равно g. Это хорошо известное движение свободно
падающего тела, которое описывается уравнениями
vz = v0z + gt,
z = z0 + v0zt + ½gt2.
Рассмотрим
другой пример. Представим, что мы смогли создать устройство (фиг. 9.3), в
котором сила прямо пропорциональна отклонению от положения равновесия и направлена
противоположно ему, — это пружина с грузиком. Действительно, поскольку сила
тяжести компенсируется начальным натяжением пружины, то имеет смысл говорить
только об избыточной силе. Если потянуть грузик вниз, то пружина
растянется и потянет его вверх, если же толкать грузик вверх, то пружина
сожмется и будет толкать его вниз. При этом все устроено таким образом, что чем
больше сила и чем сильнее мы оттягиваем грузик вниз, тем больше растягивается
пружина и тем сильнее она тянет его вверх, и наоборот. Наблюдая за работой
этого устройства, мы видим довольно интересное движение: вверх — вниз, вверх —
вниз... Возникает вопрос, могут ли уравнения Ньютона правильно описать его?
Если применить закон Ньютона
для такого периодического осциллятора, то получим следующее уравнение:
т. е. здесь мы
встречаемся с таким положением, когда z-компонента скорости
изменяется с быстротой, пропорциональной z. Нет
смысла сейчас вводить многочисленные константы; в целях простоты предположим,
что либо изменился масштаб времени, либо что-то произошло с другими единицами
измерения, словом, они выбраны так, что k/m равно единице. Итак, будем пытаться решать уравнение
Чтобы пойти дальше,
нужно сначала разобраться в том, что такое vz; то, что это быстрота изменения положения,
нам, разумеется, уже известно.