Хотя мы примерно представляем себе, что такое «скорость», однако здесь есть одна очень важная тонкость. Заметьте, что древние греки так и не смогли до конца разобраться в проблеме скорости. Тонкость, о которой идет речь, дает себя знать, когда пытаешься точно определить, что же подразумевается под понятием «скорость». Этот вопрос был камнем преткновения для древних греков, и потребовалось открытие новой области математики, помимо геометрии и алгебры, которые были известны и грекам, и арабам, и вавилонянам. Попробуйте-ка с помощью одной лишь алгебры решить следующую задачу. Воздушный шар надувается таким Образом, что его объем увеличивается со скоростью 100см³/сек. С какой скоростью увеличивается его радиус, когда объем шара достигает 1000cм³? Задачи такого рода были неразрешимы для древних греков. Кроме того, их сбивали с толку многочисленные «парадоксы». Вот один из них, придуманный Зеноном, который хорошо показывает, насколько была сложна в то время проблема скорости движения. «Предположим, — говорит он, — что Ахиллес бегает в десять раз быстрее черепахи. Но тем не менее он никогда не перегонит ее. Действительно, пусть в начале состязания черепаха находилась в 100 метрах впереди Ахиллеса. Тогда ко времени, когда Ахиллес пробежит эти 100 метров, черепаха окажется в 10 метрах впереди него. Пробежав и эти 10 метров, Ахиллес увидит черепаху в 1 метре впереди себя. За то время, пока он пробежит этот метр, черепаха пройдет 10 сантиметров и так далее... до бесконечности. Следовательно, в любой момент черепаха будет впереди Ахиллеса, и он никогда не сможет перегнать ее». В чем здесь ошибка? Конечный интервал времени можно разделить на бесконечное число частей точно так же, как и конечный отрезок длины, если последовательно делить его пополам. Но бесконечное число этапов до того места, где Ахиллес поравняется с черепахой, вовсе не означает бесконечное количество времени. Этот пример хорошо показывает, с какими трудностями приходилось сталкиваться в проблеме определения скорости.

Чтобы ещё яснее представить себе эти трудности, вспомним старую шутку, которую вы наверняка слышали. Вы помните, что автомобиль, о котором мы говорили в начале этой лекции, был остановлен полицейским. Он подходит к машине и говорит: «Мадам (ибо за рулем была женщина), Вы нарушили правила уличного движения. Вы ехали со скоростью 90 километров в час». Женщина отвечает: «Простите, это невозможно. Как я могла делать 90 километров в час, если я еду всего лишь 7 минут!» Как бы вы ответили на месте полицейского? Конечно, если вы действительно настоящий полицейский, то такими хитростями вас не запутаешь. Вы бы твердо сказали: «Мадам, оправдываться будете перед судьей!» Но предположим, что у вас нет такого выхода. Вы хотите честно доказать нарушительнице ее вину и пытаетесь объяснить ей, что означает скорость 90 км/час. Как это сделать? Вы скажете: «Я имею в виду, мадам, что если бы вы продолжали ехать таким же образом, то через час Вы бы проехали 90 километров». «Да, но я ведь затормозила и остановила машину, — может ответить она, — так что теперь-то я уж никак не могла бы проехать 90 километров в час».

Аналогичная проблема возникает и в случае падающего шарика. Предположим, что мы хотим определить его скорость через 3 сек, если бы он двигался таким же образом, о что означает «двигался таким же образом»? Сохранял бы ускорение, двигался быстрее, что ли? Конечно, нет! Сохранял бы ту же самую скорость. Но ведь это как раз то, что мы пытаемся определить! Если бы шарик продолжал двигаться «таким же образом», то он падал бы так же, как падает. Так что нужно придумать что-то лучшее для определения скорости. Что же все-таки должно сохраняться? Нарушительница могла бы вам еще ответить и так: «Если бы я продолжала ехать, как ехала, еще час, то налетела бы на стену в конце улицы!» В общем, как видите, полицейский оказался бы в очень трудном положении, пытаясь объяснить, что он имел в виду.

Многие физики думают, что единственным определением любого понятия является способ его измерения. Но тогда при объяснении вы должны прибегнуть к прибору, измеряющему скорость. «Смотрите, — скажете вы в этом случае, — ваш спидометр показывает 90». «Мой спидометр сломан и давно не работает», — ответит она. Но достаточно ли этого, чтобы поверить, что машина не двигалась? Мы полагаем, что как-то нужно было бы определять скорость и без помощи спидометра. Только при этих условиях можно сказать, что спидометр не работает, что он сломан. Это было бы абсурдным, если бы скорость не имела смысла без спидометра. Очевидно, что понятие «скорость» не зависит от спидометра. Спидометр нужен только для того, чтобы измерять ее. Давайте посмотрим, нельзя ли придумать лучшее определение понятия «скорость». Вы скажете: «Разумеется, мадам, если бы вы ехали таким же образом в течение часа, то налетели бы на стену, но за 1 секунду вы бы проехали 25 метров, так что вы делали 25 метров в секунду, и если бы продолжали ехать таким же образом, то в следующую секунду опять проехали бы 25 метров, а стена стоит гораздо дальше». «Но правила запрещают делать 90 километров в час, а не 25 метров в секунду». «Да ведь это то же самое, что и 90 километров в час», — ответите вы. А если это то же самое, то к чему тогда все длинные разговоры о 25 м/сек? В действительности же падающий шар не может двигаться одинаковым образом даже 1 сек, так как он постоянно ускоряется, и, следовательно, нужно определить скорость как-то точнее.

Но теперь мы, кажется, находимся на правильном пути, который приводит нас вот к чему. Если бы машина продолжала двигаться тадим же образом следующую тысячную долю часа, то она прошла бы тысячную долю 90 км. Другими словами, нет никакой необходимости ехать целый час с той же быстротой, достаточно какого-то момента. Это означает, что за какой-то момент времени машина проходит такое же расстояние, как и идущая с постоянной скоростью 90км/час. Наши рассуждения о 25м/сек, возможно, и правильны; мы отмечаем, сколько машина прошла в следующую секунду, и если получается расстояние 25м, то это означает, что скорость достигает 90км/час.

Другими словами, можно определить скорость следующим образом. Определяем расстояние, которое было пройдено за очень малый отрезок времени, и, разделив его на этот отрезок времени, получаем скорость. Однако этот отрезок должен быть как можно меньше, и чем меньше, тем лучше, потому что в этот период могут произойти снова изменения. Смешно, например, для падающего тела в качестве такого отрезка принять час. Принять в качестве отрезка секунду, может быть, удобно для автомобиля, так как за секунду его скорость изменяется не слишком сильно, но этот отрезок велик для падающего тела. Таким образом, чтобы вычислить скорость более точно, нужно брать все меньшие и меньшие интервалы времени. Если на миллионную долю секунды мы разделим расстояние, которое было пройдено в течение этого времени, то получим расстояние в секунду, т. е. как раз то, что мы понимаем под скоростью. Именно это нужно было сказать нашей нарушительнице, т.е. дать то определение скорости, которое мы и будем использовать.

Такое определение содержит некую новую идею, которая была недоступна грекам в ее общей форме.

Она заключается в том, чтобы малые расстояния разделить на соответствующие малые отрезки времени и посмотреть, что произойдет с частным, если отрезок времени брать все меньше и меньше (иными словами, брать предел отношения пройденного расстояния к интервалу времени при неограниченном уменьшении последнего). Впервые эта идея была высказана независимо Ньютоном и Лейбницем и явилась основой новой области математики — дифференциального исчисления. Оно возникло в связи с описанием движения, и первым его приложением был ответ на вопрос: «Что означает 90км/час?»

Попытаемся теперь точнее определить скорость. Пусть за некоторое малое время ε машина или какое-то другое тело прошли малое расстояние х; тогда скорость v определяется как

причем точность будет тем больше, чем меньше ε. Математики записывают это следующим образом:

т.е. скорость есть предел отношения x/ε при ε стремящемся к нулю. Для нашей машины-нарушительницы невозможно точно вычислить скорость, так как таблица неполная. Ее положение известно нам только через интервалы 1мин. Приближенно, конечно, можно сказать, что в течение седьмой минуты, например, она шла со средней скоростью 90км/час, однако о ее скорости в конце шестой минуты ничего сказать невозможно. Может быть, она ускорялась и скорость с 40км/час в начале шестой минуты возросла до 90км/час в конце ее, а может быть, она двигалась иначе. Мы не знаем этого точно, так как у нас нет детальной записи ее движения между шестой и седьмой минутами. Только когда таблица будет пополнена бесконечным числом данных, из нее можно будет действительно вычислить скорость. Если, однако, нам известна полная математическая формула, как, например, в случае падающего тела, то скорость подсчитать можно. Ведь по формуле можно найти положение тела в любой момент времени.

Таблица 8.2

РАСПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ПАДАЮЩЕГО ШАРА

t, сек	s, м
0	0
1	5
2	20
3	45
4	80
5	125
6	180

В качестве примера давайте найдем скорость падающего шара через 5 сек после начала падения. Один способ — это посмотреть по табл. 8.2, что происходило с шариком на пятой секунде. В течение этой секунды он прошел 45м, так что, казалось бы, он падал со скоростью 45м/сек. Однако это неверно, поскольку скорость его все время изменялась. Конечно, в среднем в течение этой секунды она составляла 45м/сек, но в действительности шар ускорялся и в конце пятой секунды падал быстрее 45м/сек. Наша задача состоит в том, чтобы определить скорость точно. Сделаем это следующим образом. Нам известно, где шарик находился через 5сек. За 5сек он прошел расстояние 125м. К моменту 5,1 сек общее расстояние, которое прошел шарик, составит, согласно уравнению s=5*5.1²=130,05(м). Таким образом, за дополнительную десятую долю секунды он проходит 5,05м. А поскольку 5,05м за 0,1сек то же самое, что и 50,5м/сек, то это и будет его скорость. Однако это все еще не совсем точно. Для нас совершенно неважно, будет ли это скорость в момент 5сек, или в момент 5,1сек, или где-то посредине. Наша задача вычислить скорость точно через 5сек, а этого мы пока не сделали. Придется улучшить точность и взять теперь на тысячную долю больше 5сек, т.е. момент 5,001сек. Полное расстояние, пройденное за это время, составляет

s = 5 * 5.001² = 5 * 25,010001 = 125,050005 (м).

Следовательно, в последнюю тысячную долю секунды шарик проходил 0,050005м, и если разделить это число на 0,001сек, то получим скорость 50,005м/сек. Это уже очень близко, но все же еще не точно. Однако теперь уже ясно, как поступить, чтобы найти скорость точно. Удобнее решать эту задачу в несколько более общем виде. Пусть требуется найти скорость в некоторый момент времени t₀ (например, 5сек). Расстояние, которое пройдено к моменту t₀ (назовем его s₀), будет 5t₀² (в нашем случае 125м). Чтобы определить расстояние, мы задавали вопрос: где окажется тело спустя время t₀+(небольшой добавок), или t₀+ε? Новое положение тела будет

5 (t₀ + ε)² = 5t₀² + 10ε t₀ + 5ε².

(Это расстояние больше того расстояния, которое шарик прошел за t₀ сек, т. е. больше 5t₀².) Назовем это расстояние s₀+(небольшой добавок), или s₀+x. Если теперь вычесть из него расстояние, пройденное к моменту t₀, то получим х — дополнительное расстояние, которое шарик прошел за добавочное время ε, т.е.

х= 10t₀ε + 5ε².

Так что в первом приближении скорость будет равна

Теперь мы уже знаем, что нужно делать, чтобы получить скорость точно в момент t₀: нужно брать отрезок ε все меньше и меньше, т.е. устремлять его к нулю. Таким путем из уравнения

v = 10t₀ + 5ε

получим

v (в момент t₀) = 10t₀

В нашей задаче t₀=5сек, следовательно, скорость равна v=10*5=50(м/сек). Это и есть нужный ответ. Раньше, когда ε бралось равным 0,1 и 0,001сек, получалась несколько большая величина, чем 50м/сек, но теперь мы видим, что на самом деле она в точности равна 50м/сек.