Процедура, которую мы только что выполнили, настолько часто встречается в математике, что для величин ε и х было придумано специальное обозначение: ε обозначается как Δt, а х — как Δs. Величина Δt означает «небольшой добавок к t», причем подразумевается, что этот добавок можно делать меньше. Значок Δ ни в коем случае не означает умножение на какую-то величину, точно так же как sin θ не означает s-i-n- θ. Это просто некоторый добавок ко времени, причем значок Δ напоминает нам о его особом характере. Ну, а если Δ не множитель, то его нельзя сократить в отношении Δs/Δt. Это все равно, что в выражении sinθ/sin2θ сократить все буквы и получить ½. В этих новых обозначениях скорость равна пределу отношения Δs/Δt при Δt, стремящемся к нулю, т. е.

Это по существу формула

но теперь яснее видно, что здесь все изменяется, а, кроме того, она напоминает, какие именно величины изменяются.

Существует еще один закон, который выполняется с хорошей точностью. Он гласит: изменение расстояния равно скорости, умноженной на интервал времени, за которое это изменение произошло, т.е. Δs=vΔt. Это правило строго справедливо только тогда, когда скорость не изменяется в течение интервала Δt, а это, вообще говоря, происходит, только когда Δt достаточно мало. В таких случаях обычно пишут ds=vdt, где под dt подразумевают интервал времени Δt при условии, что он сколь угодно мал. Если интервал Δt достаточно велик, то скорость за это время может измениться и выражение Δs=vΔt будет уже приближенным. Однако если мы пишем dt, то при этом подразумевается, что интервал времени неограниченно мал и в этом смысле выражение ds=vdt точное. В новых обозначениях выражение

имеет вид

Величина ds/dt называется «производной s пo t» (такое название напоминает о том, что изменяется), а сложный процесс нахождения производной называется, кроме того, дифференцированием. Если же ds и dt появляются отдельно, а не в виде отношения ds/dt, то они носят названия дифференциалов. Чтобы получше познакомить вас с новой терминологией, скажу еще, что в предыдущем параграфе мы нашли производную от функции 5t², или просто производную от 5t². Она оказалась равной 10t. Когда вы больше привыкнете к новым словам, вам станет более понятна сама мысль. Для тренировки давайте найдем производную более сложной функции. Рассмотрим выражение s = At³+Bt+C, которое может описывать движение точки. Буквы А, В, С, так же как и в обычном квадратном уравнении, обозначают постоянные числа. Нам нужно найти скорость движения, описываемого этой формулой в любой момент времени t. Рассмотрим для этого момент t+Δt, причем к s прибавится некоторая добавка Δs, и найдем, как выражается Δs через Δt. Поскольку

s + Δs = A (t + Δt)³ + В (t + Δt) + С =

= At³ + Bt + С + 3 At²Δt + ВΔt + 3 At (Δt)² + А (Δt)³,

a

s = At³+Bt+C

то

Δs = ЗAt² Δt + В Δt + ЗAt(Δt)² + А (Δt)³.

Но нам нужна не сама величина Δs, а отношение После деления на А/ получим выражение

|1 = ЗАР + В + 3At(bi) + А (АО³,

которое после устремления

^s dt

к нулю превратится в = 3At² + В.

В этом состоит процесс взятия производной, или дифференцирования функций. На самом деле он несколько легче, чем это кажется на первый взгляд. Заметьте, что если в разложе-

152

ниях, подобных предыдущим, встречаются члены, пропорциональные (АО² или (Д<)³ или еще более высоким степеням, то их можно сразу вычеркнуть, поскольку они все'равно обратятся в нуль, когда в конце мы будем Д£ устремлять к нулю. После небольшой тренировки вы сразу будете видеть, что нужно оставлять, а что сразу отбрасывать. Существует много правил и формул для дифференцирования различных видов функций. Их можно либо запомнить, либо пользоваться специальными таблицами. Небольшой список таких правил приводится в табл. 8.3.

Таблица 8.3

НЕКОТОРЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

s, и, о, w—произвольные функции; а, Ь, с, п—произвольные постоянные.

Функция

Производная

„ ds
^S dt	= nl
_ ds	_ du.
^с dt	~° dt
__ ds	du dv	dw	...
^5~" dt	~~ dt ' dt	^1 dt ^+
ds
s = с -----	= 0
dt
- a b с .. ds ^W dt	= s ( £ J^U \u dt	, b dv	+
4. ^c ^dw i Л ^ w dt ^+ )