Следующий шаг на пути к уравнениям движения — это введение величины, которая связана с изменением скорости движения. Естественно спросить: а как изменяется скорость движения? Действующая сила приводит к изменению скорости. Бывают легковые машины, которые набирают с места за 10сек скорость 90км/час. Зная это, мы можем определить, как изменяется скорость, но только в среднем. Займемся следующим более сложным вопросом: как узнать быстроту изменения скорости. Другими словами, на сколько метров в секунду изменяется скорость за 1сек. Мы уже установили, что скорость падающего тела изменяется со временем по формуле v=9,8t, а теперь хотим выяснить, насколько она изменяется за 1сек. Эта величина называется ускорением.

Таким образом, ускорение определяется как быстрота изменения скорости. Мы уже достаточно подготовлены к тому, чтобы сразу записать ускорение в виде производной от скорости, точно так же как скорость записывается в виде производной от расстояния. Если теперь продифференцировать формулу v = 9,8t, то получим ускорение падающего тела

(Мы видели, что производная от Bt равна просто В (постоянной). Если же выбрать эту постоянную равной 9,8, то сразу находим, что производная от 9,8t равна 9,8.) Это означает, что скорость падающего тела постоянно возрастает на 9,8м/сек за каждую секунду. Как видите, в случае падающего тела все получается довольно просто, но ускорение, вообще говоря, непостоянно. Оно получилось постоянным только потому, что постоянна сила, действующая на падающее тело, а по закону Ньютона ускорение должно быть пропорционально силе.

В качестве следующего примера найдем ускорение в той задаче, с которой мы уже имели дело при изучении скорости: s=At³+Bt+C. Для скорости v=ds/dt=3At²+B. Так как ускорение — это производная скорости по времени, то для того, чтобы найти его значение, нужно продифференцировать эту формулу. Окончательный результат: а=dv/dt=6At.

Выведем еще две полезные формулы, которые получаются интегрированием. Если тело из состояния покоя движется с постоянным ускорением g, то его скорость v в любой момент времени t будет равна , a расстояние, пройденное им к этому моменту времени,

Заметим еще, что поскольку скорость — это ds/dt, а ускорение — производная скорости по времени, то можно написать

Так что теперь мы знаем, как записывается вторая производная.

Существует, конечно, и обратная связь между ускорением и расстоянием, которая просто следует из того, что a=dv/dt. Поскольку расстояние является интегралом от скорости, то оно может быть найдено двойным интегрированием ускорения.

Все предыдущее рассмотрение было посвящено движению в одном измерении, а теперь мы коротко остановимся на движении в пространстве трех измерений. Рассмотрим движение частицы Р в трехмерном пространстве. Эта глава началась с обсуждения одномерного движения легковой машины, а именно с вопроса, на каком расстоянии от начала движения находится машина в различные моменты времени. Затем мы обсуждали связь между скоростью и изменением расстояния со временем и связь между ускорением и изменением скорости. Давайте в той же последовательности разберем движение в трех измерениях. Проще, однако, начать с более наглядного двумерного случая, а уже потом обобщить его на случай трех измерений. Нарисуем две пересекающиеся под прямым углом линии (оси координат) и будем задавать положение частицы в любой момент времени расстояниями от нее до каждой из осей. Таким образом, положение частицы задается двумя числами (координатами) х и у, каждое из которых является соответственно расстоянием до оси у и до оси х (фиг. 8.3). Теперь мы можем описать движение, составляя, например, таблицу, в которой эти две координаты заданы как функции времени. (Обобщение на трехмерный случай требует введения еще одной оси, перпендикулярной двум первым, и измерения еще одной координаты z. Однако теперь расстояния берутся не до осей, а до координатных плоскостей.) Как определить скорость частицы? Для этого мы сначала найдем составляющие скорости по каждому направлению, или ее компоненты. Горизонтальная составляющая скорости, или x-компонента, будет равна производной по времени от координаты х, т. е.

a вертикальная составляющая, или «/-компонента, равна

В случае трех измерений необходимо еще добавить

Как, зная компоненты скорости, определить полную скорость в направлении движения? Рассмотрим в двумерном случае два последовательных положения частицы, разделенных коротким интервалом времени Δt=t₂−t₁ и расстоянием Δs. Из фиг. 8.3 видно, что

(Значок ≈ соответствует выражению «приблизительно равно».) Средняя скорость в течение интервала Δt получается простым делением: Δs/Δt. Чтобы найти точную скорость в момент t, нужно, как это уже делалось в начале главы, устремить Δt к нулю. В результате оказывается, что

В трехмерном случае точно таким же способом можно получить

Ускорения мы определяем таким же образом, как и скорости: x-компонента ускорения а_х определяется как производная от x-компоненты скорости v_x (т. е. a_x = d²x/dt² — вторая производная по времени) и т. д.

Давайте рассмотрим еще один интересный пример смешанного движения на плоскости. Пусть шарик движется в горизонтальном направлении с постоянной скоростью и и в то же время падает вертикально вниз с постоянным ускорением g. Что это за движение? Так как

v_x = dx/dt = и

и, следовательно, скорость v_x постоянна, то

x= ut,

а поскольку ускорение движения вниз постоянно и равно −g, то координата у падающего шара дается формулой

Какую же кривую описывает наш шарик, т. е. какая связь между координатами х и y? Из первого уравнения t=х/и,

Эту связь между координатами х и у можно рассматривать как уравнение траектории движения шарика. Если изобразить ее графически, то получим кривую, которая называется параболой (фиг. 8.4). Так что любое свободно падающее тело, будучи брошенным в некотором направлении, движется по параболе.